Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
4
2
1
1lim
12
2
12
lim
4
2
e
n
n
n
n
n
n
=
−
+=
−
−
→∝
∞→
Лекция 13. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
1. Число А называется пределом функции f(x) на плюс бесконечности, если для любого 0>ε можно указать число
0>∆ , зависящее от
()
ε
∆=∆ε : , такое, что при всех х, удовлетворяющих условию ∆>х , выполняется неравенство
ε<− Axf )( .
В этом случае пишут
)(lim xfA
x +∞→
=
.
2. Геометрический смысл предела функции на бесконечности: если
)(lim xfA
x→∝
=
, то функция f(x) имеет горизон-
тальную асимптоту y = A.
Аналогичным образом вводится понятие предела на минус бесконечности.
3. Число А называется пределом функции f(x) при
а
х
→
, если для сколь угодно малого положительного числа
ε существует положительное число δ:
()
εδ=δ , такое, что при всех х, удовлетворяющих условию δ<−< ax0 , выполне-
но неравенство
ε<− Axf )(
.
В этом случае пишут
Axf
ax
=
→
)(lim
.
Неравенство
ε<− Axf )( может выполняться не при всех δ<−< ax0 , а только при δ<−< ax0 (или
δ
−
>
−
ax ).
В этом случае говорят об односторонних пределах функции f(x) в точке х = а: правостороннем
)(lim xf
аx
ax
>
→
и левостороннем
)(lim xf
аx
ax
<
→
или
)(lim
0
xf
ax +→
и
)(lim
0
xf
ax −→
.
4. Функция называется бесконечно большой при а
х
→ , если для любого, сколь угодно большого числа Е существу-
ет положительное число
)(Еδ=δ , такое, что для всех х, удовлетворяющих условию δ<−< ax0 , выполняется неравен-
ство
Exf >)( .
В этом случае пишут
=∝
→
)(lim xf
ax
; график этой функции имеет вертикальную асимптоту х = а.
5. Функция называется бесконечно малой (б.м.) при a
x
→ , если 0)( →xf при a
x
→ : 0)(lim =
→
xf
ax
.
6. Для того, чтобы число А являлось пределом функции f(x) при a
x
→ , необходимо и достаточно выполнение ра-
венства
)()( xAxf α+= , где )(xα – бесконечно малая функция при a
x
→ .
7. Если число
0≠A является пределом для функции f(x) при a
x
→ , то в некоторой окрестности точки а знак функ-
ции f(x) совпадает со знаком числа А: Af(x) > 0. Если
0)( →xf при a
x
→ , то
(
)
→∝xf1 при a
x
→ . Если
∞
→)(xf при
a
x
→ , то
()
01 →xf при a
x
→ .
8. Пусть
)( и )( xyxy β=α= – две бесконечно малые функции при a
x
→ . Тогда при a
x
→ :
1)
)()( хх β+α
и
)()( хх β−α
– бесконечно малые функции;
2)
)()( хх β⋅α – бесконечно малая функция;
3)
)(хс α⋅ – бесконечно малая функция, с – const;
4)
)()( xxf α⋅ – бесконечно малая функция, если f(x) – ограниченная:
cxf ≤)(
.
9. Пусть дано:
BxAxf
axax
=ϕ=
→→
)(lim ;)(lim
. Тогда:
1)
[]
.)(lim)(lim)()(lim BAxxfxxf
axaxax
±
=ϕ±=ϕ±
→→→
2)
[]
.)(lim)(lim)()(lim BAxxfxxf
axaxax
⋅=ϕ⋅=ϕ⋅
→→→
3)
,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
B
A
x
xf
x
xf
ax
ax
ax
=
ϕ
=
ϕ
→
→
→
если .0≠B
4)
.)(lim)(lim
)(lim
)(
B
x
ax
x
ax
Axfxf
ax
==
ϕ
→
ϕ
→
→

Страницы