Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1. Найти приращение
y∆
функции
)(xfy =
в произвольной точке
x
, если приращение аргумента hx
=
∆ :
1.1.
xy 23 −
=
;
1.2.
5
2
+−= xxy
; 1.3.
3
xy =
; 1.4.
1−
= xy
.
2. Найти производные следующих функций:
2.1.
3
25
xxy −=
; 2.2.
(
)
xxy −−=
4
2
31
;
2.3.
5
2
)43(cos xy −= ;
2.4.
xxy ln
=
;
2.5.
a
x
ax
a
y
+
−
=
ln
2
1
;
2.6.
xxy arccos)95(tg
⋅
−
=
;
2.7.
2
ctg41
x
xy
−= ;
2.8.
x
x
y
3tg
sin
= ;
2.9.
3
3
log xxy += ;
2.10.
x
x
y
2
cosln
−
= ;
2.11.
x
xy
sin
=
;
2.12.
3
3
2
1+
=
x
x
xy
.
3. Найти производные второго порядка
y
′′
для следующих функций:
3.1.
2
x
ey
−
=
;
3.2.
)32ln(
−
=
xy
;
3.3.
xy tg
=
;
3.4.
x
y
1
arctg
= .
4. Доказать, что вторая производная функции
)(xu
и
)(xv
может быть найдена по формуле Лейбница
vuvuvuvu
′′
+
′′
+
′′
=
′′
⋅ 2)(
. Пользуясь этой формулой, найти вторые производные функций:
4.1.
xey
x
2cos
3
=
; 4.2.
xxy
2
sinln=
; 4.3.
x
exy
−
=
2
.
VIII. Дифференциал.
1. Найти приращение
y∆ и дифференциал dy функции 315
+
+
=
xxy , если при 2
0
=x приращение
hx
=
∆
. При
каком
h выполняется равенство 25,0+=∆ dyy ?
2. Найти приращение
y∆ и дифференциал dy функции xxy sin
3
= в точке
π
=
0
x , если приращение hx
=
.
3. Вычислить приближенное значение:
3.1.
32,16 ;
3.2.
3
63 ; 3.3.
5
31 .
4. Составить уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x
0
и вычислить приближенное значение
функции в заданной точке x
1
:
4.1.
()
;2,0;0,2
10
2
==+= xxxxxf
4.2.
27
53
;2,
)23(
1
1
)(
10
==
−
= xx
x
xf
;
4.3.
3;,ln)(
10
=
== xexxxf .
5. Найти дифференциал второго порядка следующих функций:
5.1.
724
35
−−= xxy ; 5.2. xey
x
sin= ;
5.3.
x
ey
1
= ;
5.4.
4ln
2
−= xy .
6. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
6.1.
3
ln
lim
x
x
x +∞→
;
6.2.
xx
xx
x
sintg
sin
lim
0
−
−
→
;
6.3.
xx
x
lnlim
0+→
;
6.4.
x
e
x
x
3arcsin
1
lim
2
0
−
→
.
IX. Исследование функции на монотонность, экстремум и выпуклость; построение графиков.
1. Исследовать функции на монотонность:
1.1.
)2( −= xxy ;
1.2.
2
1 xxy −=
;
1.3.
32
xy =
.
2. Исследовать функции на экстремум:
2.1.
2
2 xxy −=
; 2.2.
x
xey
−
=
;
2.3.
2
4 xxy −=
;
2.4.
95
24
+−−= xxy ; 2.5. )2()1(
2
−+= xxy .

Страницы