Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
=
===∆
n
j
ijij
nnnn
n
n
nn
Aa
aaa
aaa
aaa
A
1
21
22221
11211
...
............
...
...
det
для любого фиксированного ni ...,,2,1
=
. Эта формула называется разложени-
ем определителя по элементам
i -й строки.
5. Пример разложения определителя третьего порядка для
1
=
i :
3331
2321
3
12
3332
2322
2
11
333231
232221
131211
)1()1(
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
−+−⋅=
3231
2221
4
13
)1(
aa
aa
a −+
.
Применение этого правила позволяет свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определите-
лей
)1( −n -го порядка, каждый из которых вычисляется через )1(
−
n определитель )2( −n -го порядка и т.д. к вычисле-
нию
!n
определителей 1-го порядка.
6. Некоторые свойства определителей матрицы
A
:
1)
0det =A , если все элементы любой из его строк равны нулю.
2)
0det =A
, если элементы его двух строк равны или пропорциональны.
3) Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
4) Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой
строки, умноженные на одно и то же число.
5) Сумма произведений всех элементов
ik
a какой-либо i-й строки определителя на алгебраические дополнения
jk
A
соот-
ветствующих элементов другой,
j
-й строки равна нулю:
∑
=
==+++
n
k
jkikjninjiji
AaAaAaAa
1
2211
0... ,
ji ≠
.
6)
∑∑
==
=
n
i
ijij
n
j
ijij
AaAa
11
(равноправие строк и столбцов).
7. Следствия:
• При транспонировании матрицы определитель не меняется.
• Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Лекции 3 и 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
1. Линейное алгебраическое уравнение имеет вид:
bxaxaxa
nn
=
+
+
+
...
2211
,
где ba
i
, – известные числа, ni ,1= ;
i
x – неизвестные, ni ,1= .
2. Система
m уравнений с n неизвестными:
=+++
=+++
=+++
....
...
;...
;...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Сокращенно:
∑
=
=
n
j
ijij
bxa
1
, mi ,1= .
3. Решение системы – совокупность
n чисел x
1
= c
1
,
nn
cxcx
=
=
...,,
22
, обращающих каждое уравнение в тождество.
Система называется
совместной, если имеет хотя бы одно решение.
Если
nm <
– недоопределенная система,
nm
=
– определенная,
nm >
– переопределенная.
Далее будем рассматривать определенные системы (
nm
=
).
4. Обозначим матрицы:
=
=
=
nnnnnn
n
n
b
b
b
B
x
x
x
Χ
aaa
aaa
aaa
A
...
,
...
,
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
,
тогда B
Χ
A
=⋅ – запись системы в матричной форме.

Страницы