Конспект лекций и задачи по курсу "Высшая математика". Пучков Н.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. Матрица
1−
A
называется обратной по отношению к матрице
А
, если их произведение равно единичной матрице:
E
A
A
A
A
=⋅=⋅
−− 11
.
6. Рассмотрим процесс нахождения обратной матрицы для матрицы
33×
=
ij
aA .
Пусть
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
. Обозначим
=
333231
232221
131211
~
AAA
AAA
AAA
A
, которая носит название присоединенной матрицы.
Здесь
T
A
~
– транспонированная к
A
~
матрица,
ij
A
– алгебраические дополнения к элементам
ij
a
, 3,2,1,
=
ji .
Найдем произведение
=
⋅
=⋅
333231
232221
131211
332313
322212
312111
~
aaa
aaa
aaa
AAA
AAA
AAA
AA
T
=
++++++
++++++
++++++
=
3333232313133233222312133321231113
333223221312323222221212313221221112
333123211311323122211211313121211111
aAaAaAaAaAaAaAaAaA
aAaAaAaAaAaAaAaAaA
aAaAaAaAaAaAaAaAaA
E⋅∆=
⋅∆=
∆
∆
∆
=
100
010
001
00
00
00
.
Если
0≠∆ , то EAA
T
=⋅⋅
∆
~
1
, т.е.
1−
A
=
T
A
~1
⋅
∆
.
7. Если
B
Χ
A
=
⋅
и
1−
∃ A
, то
B
A
Χ
A
A
⋅
=
⋅
⋅
−− 11
или
B
A
Χ
E
1−
=
⋅
и
.
1
BAΧ ⋅=
−
Для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
=
∆
=
3
2
1
332313
322212
312111
3
2
1
1
b
b
b
AAA
AAA
AAA
x
x
x
++
++
++
∆
333223113
332222112
331221111
1
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
, откуда
()
∆
∆
=
∆
=++
∆
=
1
33323
23222
13121
3132121111
11
aab
aab
aab
AbAbAbx
(использовано разложение определителя
1
∆ по элементам 1-го столбца).
Аналогично
∆
∆
=
∆
=
2
33331
23221
13111
2
1
aba
aba
aba
x
;
∆
∆
=
∆
=
3
33231
22221
11211
3
1
baa
baa
baa
x
.
8. Если определитель системы 0≠∆ , то можно получить так называемые формулы Крамера:
∆
∆
=
1
1
x ,
∆
∆
=
2
2
x ,
∆
∆
=
3
3
x
, где
321
,, ∆∆∆ – определители третьего порядка, полученные из
∆
путем замены, соответственно, первого, вто-
рого или третьего столбца столбцом свободных членов.
9. В основе метода Гаусса (последовательного исключения неизвестных) лежит понятие эквивалентных систем –
систем, имеющих одно и то же решение.
Например, системы
=+
−=+
12
;12
21
21
xx
xx
и
=−
−=+
43
;23
21
21
xx
xx
имеют одно и то же решение )1,1(
21
−== xx .
10. Эквивалентность не нарушается в результате так называемых элементарных преобразований системы уравнений;
это:
• удаление строки с нулевыми коэффициентами и свободным членом;
• перестановка местами уравнений;
• прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же
число.
11. Сущность метода Гаусса – применяя элементарные преобразования свести исходную систему
m
уравнений с
n
неизвестными к эквивалентной системе
p уравнений
(
)
mp
, содержащих (последовательно по строкам) от n до
r
(
1≥
r
) неизвестных. При pnm
= ,
1=
r
преобразованная система имеет «треугольный» вид:

Страницы