Математика случайного. Пучков Н.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
Пусть в водоеме N рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней п рыб. Каждую из них метим
и выпускаем обратно. Через несколько дней в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим,
что находим в ней т рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А – «пойманная рыба мечена». То-
гда относительная частота события А будет равна:
т
k
Ah
m
=)( .
Но если в водоеме N рыб и мы выпустим п меченых, то согласно классическому определению веро-
ятности событие А имеет вероятность
N
п
АР =)(
. Так как при больших т верно приближенное равенство
)()( APAh
m
≈ , то количество рыб в этом водоеме приближенно равно
k
пm
N ≈
.
Заметим, что данный способ можно применить и в других ситуациях.
Пример 2. В популярной телевизионной игре «Что? Где? Когда?» стол рулетки разделен на 12
одинаковых секторов, на каждом из которых лежит конверт с вопросом. Для ответа выбирается конверт
из того сектора, на который укажет стрелка рулетки. Далее по правилам игры, после того как конверт
выбран, его сектор не заполняется новым, а остается пустым. Если стрелка в новом раунде укажет на
пустой сектор, то для ответа выбирается конверт из ближайшего сектора по часовой стрелке. По мне-
нию организаторов игры, выбор вопросов равновероятен, так как в любой момент игры вероятность вы-
бора какого-то конверта с вопросом одинакова. Насколько обоснованно такое мнение?
Построим вероятностную модель этой игры. Рассмотрим первый раунд (первое испытание).
Элементарные исходы: ω
i
– «стрелка показывает на i-й сектор», i = 1, …, 12, все ω
i
равновозможны,
согласно классической схеме теории вероятности
12
1
=
i
р , i = 1, …, 12. В начале игры вероятность
выбора любого конверта одна и та же и равна вероятности элементарного исхода, т.е.
12
1
.
Рассмотрим второй раунд. Допустим, что в первом раунде выбор пал на 1-й сектор (рис. 2). То-
гда перед началом 2-го раунда (второе испытание) имеем элементарные исходы
i
ω
′
, i = 2, …, 12.
Сектор № 2 будет выбран, если стрелка остановится либо в секторе № 1, либо в секторе № 2, по-
этому
6
1
12
2
2
==
′
р , в то же время вероятность выбора любого из секто-
ров с номерами от 3 до 12 равна
12
1
=
′
i
р ,
i = 3, …, 12. Таким образом, уже
во втором раунде будет наруше-
на равновероятность выбора во-
просов и, следовательно, мнение
организаторов игры ошибочно.
Пример 3. Во время про-
верки паспортного режима в
микрорайоне города N был обна-
ружен преступник. Скрываясь от
погони, он бежал по улицам го-
рода, причем, убегая от мили-
цейского наряда, он продвигался
только вперед и поворачивал
только
Рис. 2
направо. Через некоторое время стало известно, что преступник пробежал через весь микрорайон, дос-
тиг шоссе, на каком-то перекрестке сел в попутную машину и уехал из города N.
Чтобы вести расследование, необходимо уточнить наиболее вероятное место посадки преступника в
автомобиль. Это может быть один из перекрестков С
1
, С
2
, С
3
или С
4
(рис. 3). Найдем вероятность по-
садки преступника в автомобиль на каждом из этих перекрестков.
В микрорайоне имеются 18 кварталов: шесть кварталов по горизонтали и три – по вертикали. На
схеме микрорайона (рис. 3), имеющейся в УВД города N, буквой Х обозначено место, где был обнару-
жен преступник. Предположим, что преступник с одинаковой вероятностью мог бежать либо вперед,
либо направо и обозначим события А
i
– «преступник сел в машину, ехавшую по шоссе, на перекрестке

Страницы