Математика случайного. Пучков Н.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

П р и м е р 2. Рассмотрим еще один пример построения вероятностного пространства в ситуации,
ставшей классической для теории вероятностей. В нашем распоряжении есть две разные (отличающие-
ся, например, размером) игральные кости. Эти две игральные кости подбрасываются и фиксируются ко-
личества очков на выпавших верхних гранях. Построим вероятностное пространство для описания этой
ситуации.
Так как в результате каждого подбрасывания костей мы фиксируем два числа, то будем считать, что
элементарный исход – это два числа, из которых первое число – это число выпавших очков на меньшей
по размеру кости, второе число – число выпавших очков на большей по размеру кости. Например, (1, 2)
или (6, 6) (обратим внимание, что так как кости разные, то элементарные исходы (1, 2) и (2, 1), конечно
же, различны). Всего элементарных исходов будет 6
2
= 36 (вспомните правило произведения!). Далее,
кости между собой никак не связаны, поэтому здравый смысл подсказывает, что все элементарные ис-
ходы равноправны, а следовательно, равновозможны. Таким образом, применима классическая схема
теории вероятностей. Вследствие этого,
36
1
=
k
p , k = 1, 2, …, 36. Итак, мы построили вероятностное про-
странство по классической схеме теории вероятностей, в котором Ω – множество, состоящее из 36 эле-
ментарных
исходов; элементарные исходы ω
k
, k = 1, 2, …, 36, – это упорядоченные наборы двух чисел (от 1 до 6);
вероятности элементарных исходов
36
1
=
k
p , k = 1, 2, …, 36.
Попробуйте ответить самостоятельно на такой вопрос: что нужно
изменить в этом вероятностном пространстве, если кости будут не различимы?
Как, наверно, уже заметил читатель, при построении вероятностного пространства используется
теория множеств
12
. Все дальнейшее развитие теории вероятностей тоже неотделимо от теории мно-
жеств. Таким образом, вся теория вероятностей оказывается просто «надстройкой» над теорией мно-
жеств. Особенно четко выделяется влияние теории множеств при определении таких понятий как «со-
бытие», «вероятность события», «операции над событиями».
Итак, продолжим дальнейшее построение теории вероятностей.
5 Вероятность события
Пусть Ω – множество всех элементарных исходов данного испытания. С каждым событием А свя-
зывается некоторое подмножество Ω
А
множеством Ω. Поэтому можно дать следующие определения.
Определение 1. Событием А при данном испытании называется любое подмножество Ω
А
множест-
ва Ω всех элементарных исходов.
Определение 2. Благоприятствующими событию А исходами (или просто благоприятными исхо-
дами) называется те элементарные исходы, в которых событие А наступит.
Определение 3. Пусть
k
ii
ω
ω
...,,
1
13
– благоприятные исходы для
события А, вероятности которых равны числам
k
ii
pp ...,,
1
. Вероятностью Р(А) события А называется
сумма вероятностей
k
ii
pp ...,,
1
элементарных исходов
k
ii
ω
ω
...,,
1
, благоприятствующих этому событию:
k
ii
ррАР ++= ...)(
1
.
Если рассматривать классическую схему теории вероятностей, т.е.
n
р
k
1
=
, k = 1, …, n, то
k
n
ррАР
k
ii
1
...)(
1
=++=
. Определение вероятности события в этом случае можно переформулировать.
Определение 4 (классическое определение вероятности события). Вероятностью события А на-
зывается отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех элемен-
тарных исходов данного испытания.
Рассмотрим примеры подсчета вероятности события на основе ее классического определения.
Пример 1. Руководство рыбхоза, желая скрыть прибыль, сознательно занижает количество рыбы
в своих искусственных водоемах. Как налоговому инспектору оценить приближенно количество рыбы,
например в одном из водоемов?
12
С основными положениями теории множеств можно познакомиться, например, в [7].
13
Двойные индексы использованы для того, чтобы показать что благоприятными исходами для события А являются какие-то эле-
ментарные исходы из Ω и всего их k (k ≤ n) штук.

Страницы