Математика случайного. Пучков Н.П - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ным − оно может произойти, а может и не произойти. В соответствии с этим события подразделяют на
достоверные, невозможные, случайные.
Если с достоверными и невозможными событиями все более или менее просто, то со случайны-
ми событиями все неопределенно. Из повседневного опыта известно, что одни случайные события
наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. Слова «часто», «редко» как харак-
теристики наступления событий очень неопределенны. Например, где проходит граница между
«часто» и «редко»? Чтобы придать подобным сравнениям точный смысл, необходимо с каждым
случайным событием связать число, выражающее степень возможности данного события. Это мож-
но сделать экспериментально.
Экспериментальной характеристикой наступления случайного события (например, А) является
частота h
n
(A) (некоторые авторы употребляют термин относительная частота h
n
(A) события А), рав-
ная отношению числа испытаний п
А
, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний п:
n
n
Ah
A
n
=)( .
Экспериментально установлено
8
, что для случайных событий частота при увеличении п становится
почти постоянной. Это свойство (оно называется статистической устойчивостью частот случайного
события) и позволяет с каждым событием А связать некоторое число Р(А), с которым сближается часто-
та, и считать это число степенью возможности события А, или вероятностью события А.
Определение (статистическое определение вероятности события).
Вероятность события А – это число, с которым сближается частота h
n
(A) при увеличении числа
испытаний п, в которых может наступить событие А.
Такое определение вероятности события А, как меры наступления события А, тоже не совсем при-
емлемо. Например, сколько надо провести испытаний п, чтобы h
n
(A) сблизилось с Р(А)? И вообще, что
понимать под словами «h
n
(A) сближается с Р(А)»?
Есть ответы на эти вопросы, но мы пойдем другим путем, типичным для многих разделов матема-
тики, – аксиоматическим методом для построения математической модели. Он состоит в том, что с са-
мого начала в математической модели фиксируются аксиомы – первичные, не подлежащие определе-
нию понятия, отражающие самые существенные стороны рассматриваемого явления. После этого из
аксиом логическим путем выводятся предполагаемые свойства изучаемого явления. Это и есть тот мо-
мент, когда математика подключается к изучению реального мира.
Первоначально определим основу (или пространство) для построения теории вероятностей,
включив туда наиболее значимые стороны понятия испытания.
4 ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Определение. Вероятностным пространством (или математической моделью испытания) называ-
ется конечное множество }...,,{
1 п
ωω=Ω
9
, каждому элементу
k
ω
, k = 1, …, n которого поставлено в соот-
ветствие неотрицательное число
k
р таким образом, что сумма всех этих чисел равна 1.
1...
21
1
=+++=
∑
=
n
п
k
k
рррр .
8
Например, в демографии – науке, изучающей динамику населения – известно, что относительная частота рождения мальчиков
близка к числу 0,516 и тем самым немного выше, чем относительная частота рождения девочек. Причем, этот факт подтверждается стати-
стикой (т.е. экспериментально) независимо от условий в различные периоды времени [4].
9
Ω, ω – буква греческого алфавита, читается «омега».

Страницы