Математика случайного. Пучков Н.П - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Конечное множество Ω состоит из элементов
n
ω
ω
...,,
1
, которые являются «обозначениями» воз-
можных результатов (исходов) испытания. Элементы
n
ω
ω
...,,
1
множества Ω называют элементарными
исходами (элементарными событиями) испытания. При этом выполняется условие, что в результате ис-
пытания обязательно появится один и только один из элементарных исходов.
Число р
k
называется вероятностью элементарного исхода ω
k
, k = 1 ,…, n. Соответствие между ω
k
и
р
k
определяется аксиоматически
10
, но с сохранением смысловой нагрузки, определяемой конкретным
испытанием, для которого строится вероятностное пространство. Например:
а) по каким-либо соображениям симметрии мы считаем все элементарные исходы равновозможны-
ми (и это становится аксиомой), т.е.
п
ррр
=
=
= ...
21
, а так как 1...
21
=
+
+
+
п
ррр , то ....,,2 ,1 ,
1
nk
n
р
k
==
б) вероятности р
k
элементарных исходов ω
k
, k = 1,…, n определяются предварительным проведени-
ем серии опытов, в этом случае за р
k
принимают относительную частоту события ω
k
(и это тоже стано-
вится аксиомой в соответствующем вероятностном пространстве).
Подход а) называется классической схемой теории вероятностей, а подход б) – статистическим
подходом. Рассмотрим примеры построения вероятностных пространств.
П р и м е р 1. При изучении особенностей образования слов в русском языке возникают вопросы,
связанные с употреблением букв в русских словах. Например, какая буква чаще всего используется в
словах русского языка? Как часто в русских словах встречаются гласные буквы по сравнению с соглас-
ными?
Рассмотрение этих вопросов надо, по-видимому, начинать с того, чтобы сопоставить каждой букве
число, характеризующее встречаемость этой буквы в словах (т.е. мы начинаем строить вероятностное
пространство на основании статистического подхода, которое было бы моделью для рассматриваемой
ситуации).
Если считать все буквы равноправными в рассматриваемых вопросах, то все эти числа должны
быть равны
33
1
(так как всего 33 буквы, нас интересует только 1). Но вряд ли бы мы достигли объектив-
ного отражения действительности, так как слова, составляющие осмысленный текст, нельзя считать
чисто случайной последовательностью букв. Более точно отражали бы действительность числа, полу-
ченные из предварительных подсчетов относительных частот появлений букв в больших кусках литера-
турного текста. Таким образом мы получим следующую таблицу
11
(не различая букв е, е и ь, ъ):
Буква о е, е а и т н с р
Относитель-
ная частота
0,11
0
0,08
7
0,07
5
0,07
5
0,06
5
0,06
5
0,05
5
0,04
8
Буква в л к м д п у я
Относитель-
ная частота
0,04
6
0,04
2
0,03
4
0,03
1
0,03
0
0,02
8
0,02
5
0,02
2
Буква ы з ь, ъ б г ч й х
Относитель-
ная частота
0,01
9
0,01
8
0,01
7
0,01
7
0,01
6
0,01
5
0,01
2
0,01
1
Буква ж ю ш ц щ э ф
Относитель-
ная частота
0,00
9
0,00
7
0,00
7
0,00
5
0,00
4
0,00
3
0,002
Подведем итог. Нами построено вероятностное пространство, в котором элементам ω
k
, k = 1, 2, 3,
…, 31 (или буквам русского алфавита) из множества Ω поставлены в соответствие вероятности р
k
, k = 1,
2, 3, …, 31 (или относительные частоты появлений данных букв в словах), причем при сопоставлении
элементарным исходам ω
k
вероятностей р
k
применен статистический подход.
10
Слово «аксиоматически», как понятно из предыдущего, математики употребляют тогда, когда объяснение выходит за рамки мате-
матики. Например, и без математики смысл слова «вероятность» все люди понимают вообще-то одинаково и очень давно. Еще первобыт-
ный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились то-
гда коллективно. Математики же пытаются приспособить интуитивное понимание для применения математических способов.
11
См. [6], с. 56.

Страницы