Математика случайного. Пучков Н.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

03,0
1
03,0
)( =≈AP .
Для такого выбора определения вероятности события в данной ситуации можно привести сле-
дующие аргументы. Допустим, что квадрат ODBC разбит сеткой линий на составные части, каждая
из которых имеет площадь S
0
. Причем заштрихованная область покрывается этой сеткой без зазоров
(приведите пример такого разбиения квадрата!). Тогда в заштрихованную область OKLBMN попа-
дут
0
шт
S
S
штук составных частей, а в квадрате ODBC всего таких составных частей будет
0
S
S
, где S
шт
– площадь заштрихованной области OKLBMN, S – площадь квадрата ODBC. Каждый элементар-
ный исход (x, y) может попасть в любую из составных частей, причем все составные части естест-
венно считать равноправными. Тогда по классическому определению вероятности, можно считать,
что событие А имеет вероятность, равную отношению числа составных частей внутри заштрихо-
ванной области OKLBMN ко всему числу составных частей в квадрате ODBC (на самом деле мы пе-
решли к новому вероятностному пространству, опишите его). Итак,
S
S
SS
SS
AP
шт
0
0шт
)( == . Таким обра-
зом, в качестве Р(А) мы получили отношение площадей, что и приняли за вероятность события А в
этом примере.
Данный подход для определения Р(А) напоминает классическое определение вероятности, как
отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. Однако в дан-
ной ситуации число элементарных исходов (как всех, так и благоприятных) бесконечно. Поэтому
здесь надо говорить не об отношении чисел соответствующих исходов, а об отношении площадей.
В предыдущем примере вероятность события связывалась с понятием «площадь». С таким же
успехом можно связывать вероятность с «объемом», «длиной» или «величиной угла». Все эти слу-
чаи можно объединить воедино, использовав слово «мера»
15
, – в результате получим геометриче-
ское определение вероятности.
Определение (геометрическое определение вероятности). Вероятность случайного события
есть отношение меры области, содержащей элементарные исходы, благоприятные событию, к мере
всей области.
Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на
случай, когда число равновозможных элементарных исходов бесконечно.
Обратим внимание на то, что в одной и той же ситуации могут быть выбраны разные представ-
ления о «мере». Рассмотрим соответствующий пример.
Пример 2. Курсант школы милиции на занятиях по огневой подготовке ведет стрельбу по
плоской мишени, представляющей круг радиусом 20 см. Выстрел признается успешным, если кур-
сант попадет в «яблочко» – круг радиусом 5 см в центре мишени. Какова вероятность того, что вы-
стрел будет успешным?
Пусть событие А – «выстрел успешный». Так как в примере рассматриваются только круги
(мишень и «яблочко»), то в качестве меры области можно взять радиус круга (т.е. длину). Тогда
4
1
20
5
)( ==АР
(объясните почему?). Если же в качестве меры области рассматривать площадь, то
16
1
20
5
)(
2
2
=
⋅π
⋅π
=AP . Ответы получились разные и в этом нет ничего удивительного – ведь мы находили
вероятности в разных вероятностных пространствах (т.е. использовали разные математические мо-
дели!).
Рассмотрим пример, в котором мерой является длина.
Пример 3. Молодому человеку, живущему в центре Москвы, нравились две девушки –
блондинка, живущая на севере, и брюнетка, живущая на юге. Обе девушки были одинаково привле-
кательны, и молодой человек никак не мог решить, какой из них сделать предложение. Наконец, в
один прекрасный день он решил доверить свою судьбу случаю. Спускаясь в метро в центре, от-
правлялся на свидание к той девушке, чей поезд приходил первым. Через год он обнаружил, что с
северной девушкой он встречался в два раза чаще, чем с южной. Этот факт юноша расценил как
15
Таким образом, мера области – это или длина, или площадь, или объем, или величина угла, в зависимости от рассматриваемой об-
ласти (линия, плоская фигура, пространственное тело, угол).

Страницы