Математика случайного. Пучков Н.П - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично предыдущим замечаниям, из определения 6 получаем соотношения для множеств:
=ΩΩ
BA
I ∅, Ω=ΩΩ
BA
U (т.е. события А и В несовместные и их объединение – достоверное собы-
тие) или
BA
Ω=Ω , где
B
Ω – дополнение
16
множества
B
Ω
до множества Ω.
Таковы основные операции над событиями.
Поскольку операции над событиями сводятся к соответствующим операциям над множествами
благоприятных им исходов, то все утверждения алгебры множеств, рассмотренные в [7], остаются
справедливыми и для операций над событиями.
Например,
ВАВАВАВА IUUI == ,
. Поэтому можно говорить, что события образуют алгебру
событий.
Далее рассмотрим ряд теорем, с помощью которых можно по вероятностям одних случайных
событий находить вероятности других, «более сложных» случайных событий. Начнем с теорем, ко-
торые образуют группу с общим названием «теоремы сложения».
8 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
Теорема 1 (теорема сложения для несовместных событий). Если события А и В несовместны,
то )()()( ВРАРВАР +=U .
Доказательство. Обозначим элементарные исходы, благоприятные для события А, через а
1
,…,
а
m
, а для события В – через b
1
, …, b
п
. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через р
1
, …,
р
m
и q
1
, …, q
n
. Тогда событию А
ВU
благоприятны все исходы а
1
,…, а
m
, b
1
, …, b
п
. В силу того, что со-
бытия А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события А ВU
равна сумме вероятностей этих исходов:
nm
qqррВАР
+
+
+
+
+
=
......)(
11
U .
Но р
1
+ … + р
m
= Р(А), q
1
+ … + q
n
= P(B), поэтому
=
)( ВАР U )()( ВРАР
+
=
.Теорема доказана.
Следствие 1. Если события А
1
, …, А
п
попарно несовместны, то
)(...)()()...(
2121 nn
APAPAPAAAP +++=UUU .
Доказательство. Так как события А
1
, …, А
п
попарно несовместны, то события ...
121 −п
ААА UUU и
А
п
также несовместны. Действительно, по свойствам операций над событиями:
NAAAAAAAA
nnnnn
=
=
−−
)(...)()...(
11121
UUUIIUUU .
Далее, по теореме 1:
)()...()...(
121121 nnnn
APAAAPAAAAP
+
=
−−
UUUUUUU .
Применяя это рассуждение к первому слагаемому n – 1 раз, получим, что
)(...)()()...(
2121 пп
АРАРАРАААР
+
+
+
=
UUU .
Следствие доказано.
Следствие 2. Для любого события А имеем:
)(1)( АРАР −=
.
Доказательство. Для доказательства достаточно учесть, что DАА =U , где D – достоверное со-
бытие; NAA =I , где N – невозможное событие. Тогда по теореме 1:
)()()()(1 APAPAAPDP +=== U ,
)(1)( APAP −= .
Следствие доказано.
16
См. [7].

Страницы