Математика случайного. Пучков Н.П - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Используя на практике эти утверждения, необходимо иметь твердое убеждение о несовместно-
сти рассматриваемых событий. Для примера рассмотрим следующую задачу.
Задача. В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что 5 неизвестных лиц взло-
мали сейф сельскохозяйственного предприятия, и похитили крупную сумму денег. Свидетели успе-
ли заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в город. Об этом сразу же была
поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на посту автоинспекции при
въезде в город, к его дверям подошел инспектор уголовного розыска и запретил водителю откры-
вать двери автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привес-
ти к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил водителя: «Первоначально мне доста-
точно проверить человек 6 пассажиров». Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам
зайти в дежурную комнату контрольного пункта.
Один преступник был сразу обнаружен – в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщ-
ников и дело было закончено.
Что руководило инспектором при выборе количества досматриваемых: риск или трезвый рас-
чет?
Решение. Найдем вероятность того, что среди шести отобранных пассажиров есть хотя бы один
преступник; обозначим соответствующее событие буквой А. Пусть событие A
k
– среди случайно
выбранных 6 пассажиров есть ровно k преступников (k = 1, 2, 3, 4, 5).
Тогда
54321
АААААА ++++= и
)()()()()()(
54321
АРАРАРАРАРАР
+
+
+
+
= .
Найдем вероятность события A
k
(среди 6 пассажиров находится ровно k (k = 1, 2, 3, 4, 5) пре-
ступников). Рассмотрим испытание, состоящее в том, что из 40 пассажиров выбирается 6 лиц. Об-
щее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов образовать (или
«выбрать») подмножество, содержащее 6 элементов, из множества, в котором 40 элементов, т.е.
6
40
C
– числу сочетаний из 40 по 6. Подсчитаем число исходов, благоприятных событию A
k
(k = 1, 2, 3, 4,
5). В каждом благоприятном для события A
k
исходе среди 6 выбранных лиц должно быть k пре-
ступников и 6 – k обыкновенных пассажиров. Далее, k преступников из 5 можно «выбрать»
k
C
5
спо-
собами, 6 – k пассажиров из 35 можно «выбрать»
k
C
−6
35
способами. Поэтому, по правилу произведе-
ния, число благоприятных для события A
k
элементарных исходов равно
kk
CC
−
⋅
6
355
. Применяя класси-
ческое определение вероятности, найдем вероятность события A
k
:
6
40
6
355
)(
C
CC
АР
kk
k
−
⋅
=
,
или 4229,0)(
6
40
5
35
1
5
1
≈
⋅
=
С
СС
АР , 1364,0)(
6
40
4
35
2
5
2
≈
⋅
=
С
СС
АР ;
017,0)(
6
40
3
35
3
5
3
≈
⋅
=
С
СС
АР ; 0008,0)(
6
40
2
35
4
5
4
≈
⋅
=
С
СС
АР ;
00001,0)(
6
40
1
35
5
5
5
≈=
С
СС
АР .
Складывая полученные вероятности, найдем 5771,0)(
≈
АР .
Таким образом, вероятность того, что среди 6 пассажиров окажется по крайней мере один пре-
ступник, оказывается больше 0,5 и тем самым больше, чем не обнаружить такового.
По-видимому, инспектор руководствовался трезвым расчетом.
Если рассматриваемые события совместны, то необходимо руководствоваться следующим пра-
вилом.
Теорема 2 (теорема сложения для совместных событий). Если события А и В совместны, то
)()()()( ВАРВРАРВАР IU −+= .
Доказательство. Попытаемся использовать результаты теоремы 1. Для этого достаточно пред-
ставить BAU через сумму каких-то несовместных, связанных с А и В, событий. Например, событие
А есть сумма двух несовместных событий ВАВА II и , а событие В есть сумма двух несовместных
событий ВАВА II и . Представляя события как подмножества множества Ω и применяя свойства
операций над множествами, получим:

Страницы