Математика случайного. Пучков Н.П - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, структура формулы сохранилась и мы получили формулу для подсчета вероят-
ности суммы п случайных событий.
Используем полученные результаты для решения следующей задачи.
Задача. Группа Российских парламентариев перед поездкой в одну из стран Западной Европы
совершенно не преднамеренно укомплектовала себя идентичными портфелями – дипломатами с
кодовыми замками. Среди прочих бумаг и личных вещей каждый член группы имел в портфеле
общие для всех программные документы визита.
При посещении одной из организаций парламентариям пришлось сдать портфели в камеру хра-
нения, не имеющую индивидуальных ячеек, так что при получении портфелей назад возникли про-
блемы с их принадлежностью. Ситуация усугубилась тем, что срочно возникла необходимость по-
смотреть программные материалы визита. Соблюдая деликатность, каждый парламентарий взял
случайно доставшийся ему портфель и, не привлекая внимание, попытался его открыть своим ко-
дом.
Насколько успешной оказалась эта попытка? Насколько сильно зависит результат от численно-
сти группы?
Решение. Построим математическую (вероятностную) модель задачи. Пронумеруем парламен-
тариев: 1, 2, 3, …, n. Пусть событие A
k
– «k-й парламентарий взял свой портфель» (заметим, что эти
события совместные). Тогда событие
n
AAAA UUU ...
21
=
означает – «по крайней мере, один парла-
ментарий взял свой портфель».
Для вычисления Р(А) применим доказанную формулу для подсчета вероятности суммы п слу-
чайных событий.
Вначале подсчитаем вероятности событий A
k
, k = 1, …, n, используя классическое определение
вероятности. Всего n портфелей. Они могут быть распределены среди n парламентариев n! спосо-
бами. Это число всех элементарных исходов. Если k-й парламентарий взял свой портфель, то ос-
тальные n – 1 портфель могут быть распределены между n – 1 парламентариями (n – 1)! способами
и
nn
n
AP
k
1
!
)!1(
)( =
−
=
.
Найдем вероятности событий
ki
AA I , i = 1, …, n, k = 1, …, n. Если i-й и k-й парламентарии взяли
свои портфели, то остальные портфели могут быть распределены (n – 2)! способами, поэтому
nnn
n
AAP
ki
)1(
1
!
)!2(
)(
−
=
−
=I
.
Соответственно:
nnn
AAAP
kji
)1)(2(
1
)(
−−
=II
, …,
!
1
)...(
21
n
AAAP
n
=III
.
Сумма
n
S
1
имеет n членов, поэтому
1
1
1
== n
n
S
n
.
Сумма
n
S
2
имеет
2
n
C
членов, поэтому
!2
1
)1(
1
21
)1(
)1(
1
2
2
=
−⋅
−
=
−
=
nn
nn
nn
CS
nn
.
Аналогично
!
1
..., ,
!4
1
,
!3
1
43
n
SSS
nnnn
===
.
Окончательно имеем:

Страницы