Математика случайного. Пучков Н.П - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лемма.
18
Если известно, что произошло событие В, то вероятность любого элементарного ис-
хода, не благоприятствующего событию В, обращается в нуль, а вероятность элементарного исхода,
благоприятствующего событию В, умножается на
)(
1
BP
.
Доказательство. Получение некоторой информации (т.е. событие В) о результате испытания
означает, что вместо всего множества элементарных исходов Ω надо брать его часть, которую мы
обозначим Ω
В
. Если исход ω не принадлежит Ω
В
, то его вероятность обращается в нуль (т.к. стано-
вится невозможным). Если же он принадлежит Ω
В
, то его вероятность увеличивается (в силу
уменьшения Ω до Ω
В
). При этом естественно считать, что новая информация «одинакова» по отно-
шению к элементарным исходам из Ω
В
, поэтому вероятности исходов из Ω
В
увеличиваются в одно и
то же число раз. Обозначим элементарные исходы, благоприятствующие событию В через ω
1
, …,
ω
k
, а их вероятности через р
1
, …, р
k
. После получения новой информации эти вероятности станут
равными числам λр
1
, …, λр
k
. Значение λ легко определить из того, что сумма новых вероятностей
должна равняться 1. Поэтому:
1...
1
=
λ
++λ
k
рр , 1)...(
1
=
+
+
λ
k
pp . Но )(...
1
BPpp
k
=
+
+
, и потому
)(
1
BP
=λ
.
Лемма доказана.
Рассмотрим ситуацию, описываемую в лемме на примере.
Пример. В корзине лежат 15 шаров двух разных размеров: 5 шаров меньшего размера и 10
шаров большего размера. Среди 10 шаров большего размера 5 окрашены в красный цвет, 5 – в си-
ний цвет. Все шары меньшего размера окрашены в зеленый цвет.
Рассмотрим испытание, состоящее в том, что из корзины извлекается случайным образом шар.
Построим вероятностное пространство для данного испытания. В данном испытании 15 элементар-
ных исходов (по числу шаров), т.е. Ω = {ω
1
, …, ω
15
}. Пусть ω
1
, …, ω
5
– элементарные исходы, соот-
ветствующие извлечению шара меньшего размера; ω
6
, …, ω
10
– элементарные исходы, соответст-
вующие извлечению красного шара большего размера; ω
11
, …, ω
15
– элементарные исходы, соответ-
ствующие извлечению синего шара большего размера. Все шары равноправны, поэтому
15
1
=
i
p для
любого i = 1, …, 15.
Обозначим событие В, состоящее в том, что из корзины извлечен шар большего размера. По
классическому определению вероятности события
3
2
15
10
)( ==BP
. Допустим, что в результате испы-
тания произошло событие В. Что изменится в построенном ранее вероятностном пространстве?
Элементарные исходы ω
1
, …, ω
5
станут невозможными, поэтому в новой ситуации надо считать,
что 0=
′
i
p для i = 1, …, 5 (для избежания двусмысленности вероятности элементарных исходов ω
i
в
новой ситуации будем обозначать
i
p
′
). Остальные элементарные исходы тоже изменят свои вероят-
ности. Согласно рассуждению из доказательства леммы 1, получим 1...
156
=
′
+
+
′
pp . Так как шары по-
прежнему равноправны, то
10
1
...
156
=
′
==
′
pp или
)(
3
2
2
3
BP
pp
pp
ii
ii
===
′
для i = 6, …, 15.
Теорема. Условная вероятность события А относительно события В равна частному от деления
вероятности совместного появления событий А и В на вероятность события В, т.е.
)(
)(
)(
BP
BAP
AP
B
I
= .
Доказательство. Пусть событие В произошло. Найдем новую вероятность события А. Ему бла-
гоприятствуют исходы двух видов – благоприятствующие В и неблагоприятствующие В. Согласно
лемме, если произошло событие В, то вероятности элементарных исходов первого вида умножают-
ся на
)(
1
ВР
, а элементарные исходы второго вида получают нулевую вероятность. Но исходы перво-
го вида составляют событие ВА I , следовательно
)(
)(
)(
ВР
ВАР
АР
I
= . Теорема доказана.
10 НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Различные случайные события могут иметь различные связи и их надо оценивать. В рамках ве-
роятностных моделей это можно сделать на основе определенной выше условной вероятности.
18
В математике леммой называют вспомогательное утверждение, которое используется для доказательства основного, более «важно-
го» утверждения.

Страницы