Математика случайного. Пучков Н.П - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

)()()()()( BPAPBPAPBAP
+
=
U .
В заключение рассмотрим вопрос о соотношении понятий «независимость» и «совместность».
С точки зрения интуиции, «независимость» и «совместность» не связанные понятия, однако по-
строенная вероятностная модель позволяет выделить связь между этими понятиями.
Лемма 4. Независимые события А и Вположительными вероятностями 0)( ,0)( >> BPАР ) обя-
зательно являются совместными (т.е. утверждать, что события А и В одновременно произойти не
могут – нельзя).
Доказательство. Пусть А, В независимые события, )()()( BPAPBAP
=
I . Допустим, что А, В
несовместные события, т.е. NBA =I невозможное событие. Тогда 0)()(
=
= NPBAP I . Следова-
тельно, 0)()( =BPAP и по крайней мере одна из вероятностей Р(А) или Р(В) должна быть нулем. Это
противоречит тому, что Р(А) > 0, P(B) > 0. Следовательно, независимые события А, В с положи-
тельными вероятностями не могут быть несовместными, они являются совместными. Лемма дока-
зана.
Понятие условной вероятности используется при решении широкого круга вероятностных за-
дач. Рассмотрим часто встречающиеся задачи: как найти вероятность события А, если его появле-
ние возможно предполагаемой вероятностью) только совместно с одним из попарно несовмест-
ных событий
n
ВВ ..., ,
1
и как влияет наступление события А на вероятности событий
n
ВВ ..., ,
1
?
11 ТЕОРЕМА О ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
ТЕОРЕМА БАЙЕСА
Теорема (о полной вероятности). Пусть событие А может наступить лишь при появлении од-
ного из несовместных событий
n
ВВ ..., ,
1
, причем DВВ
n
=
UU ...
1
– достоверное событие
19
, тогда
)()(...)()()()()(
21
21
APВРАРВРАРВРАР
n
BnВВ
+++=
.
Доказательство. Согласно свойствам операции пересечения и объединения событий, получим:
)(...)()...(
11 nn
BABABBADAA IUUIUUII
=
== .
Так как события
n
ВВ ..., ,
1
несовместные, то для i = 1, …, n, j = 1, …, n, ji ,
NBB
ji
=I
, N не-
возможное событие.
Следовательно,
NNABBABBABABA
jijiji
=
=
=
=
IIIIIIII )()()( .
Значит, событие А является объединением попарно несовместных событий
n
BABA II ...,,
1
и по-
этому его вероятность по теореме сложения для несовместных событий равна:
)(...)()(
1 n
BAPBAPAP II
+
+
=
.
Далее, согласно равенству
)()()( APBPВАР
i
Bii
=I
, получим:
)()(...)()()(
1
1
APBPAPBPAP
n
BnB
++=
.
Теорема доказана.
Следствие (теорема Байеса). В условиях теоремы о полной вероятности справедливы равенст-
ва:
19
Такую совокупность событий B
1
, …, B
n
называют полной группой событий. Теорема о полной вероятности будет верна, если заме-
нить условие
DBB
n
=UU ...
1
на более слабое предположение, которое при помощи теории множеств можно записать так
n
BBA UU...
1
(сформулируйте это условие в терминах событий!). Однако с целью наглядности доказательства оставлено условие
DBB
n
=
UU ...
1
.