Математика случайного. Пучков Н.П - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 1. Событие А называется независимым (или независимо) от события В, если его
вероятность не зависит от наступления события В:
)()( АРАР
В
=
.
Лемма 1. Событие А независимо от события В тогда и только тогда, когда )()()( ВРАРВАР
=
I .
Доказательство. Пусть А независимо от В, тогда )()( АРАР
В
=
. В предыдущем параграфе мы до-
казали, что
)(
)(
)(
BP
BAP
AP
B
I
= . Следовательно и
)(
)(
)(
BP
BAP
AP
I
= , а )()()( ВРАРВАР
=
I .
Обратно, пусть )()()( ВРАРВАР =I . Тогда
)(
)(
)(
BP
BAP
AP
I
= . Но
)(
)(
BP
BAP
I
– формула для вычисления
)(AP
B
. Таким образом, )()( АРАР
В
= , следовательно, А независимо от В. Лемма доказана.
Таким образом, определение независимости события А от В могло бы быть основанным на
формуле )()()( ВРАРВАР =I . Однако определение независимости на основе формулы )()( АРАР
В
=
более близко к интуитивному пониманию.
Определение 1 более полно отражало бы интуитивное понимание слова «независимость», если
бы из определения 1 вытекало, что событие А не зависит и от ненаступления события В, т.е.
)()( АРАР
В
= .
Лемма 2. Если событие А независимо от события В, то событие А независимо и от В , т.е.
)()()( BPAPBAP =I .
Доказательство. Нам надо доказать, что из условия )()()( BPAPBAP
=
I следует условие
)()()( BPAPBAP =I .
Попытаемся связать события ВАBA II и . Они несовместны, так как B и В несовместны. Их
объединение
ADABBABABA === IUIIUI )()()( ,
где D – достоверное событие. Поэтому )()()( BAPBAPAP II += , а )()()( BAPAPBAP II −= . По усло-
вию )()()( BPAPBAP =I , следовательно
)()())(1)(()()()()()()( ВРАРВРАРВРАРАРВАРАРВАР =−=−=−= II
.
Следовательно, А не зависит и от
В
. Лемма доказана.
Лемма 3. Если А независимо от В, то и В независимо от А, т.е.
)()()()( ВРВРАРАР
АВ
=
⇒= .
Доказательство. По определению условной вероятности
)(
)(
)(
AP
BAP
BP
A
I
= , так как А независимо
от В, то )()()( BPAPBAP =I . Следовательно: )(
)(
)()(
)(
)(
)(
BP
AP
BPAP
AP
BAP
BP
A
===
I
. Лемма доказана.
Согласно лемме 3 можно говорить не о том, что событие А независимо от события В, а о том,
что события А и В независимы (т.е. условие )()( APAP
B
=
гарантирует «взаимную и полную» незави-
симость событий А и В). Это позволяет уточнить определение 1.
Определение 2. События А и В независимы, если )()( APAP
B
=
(и/или )()( ВРВР
А
= ).
Теорема. Если события А и В независимы, то
а) события А и В независимы,
б) события
А
и В независимы,
в) события
В
А
и
независимы.
Доказательство. Утверждение а) доказано в лемме 2. Утверждение б) о независимости
А
и В
вытекает из лемм 3 и 2. Утверждение в) о независимости
В
А
и
вытекает из а), б). Теорема доказана.
Если события А и В независимые, то можно уточнить теорему сложения для совместных собы-
тий.
Следствие. Если А и В независимые события, то

Страницы