Математика случайного. Пучков Н.П - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
!
1
)1(...)8(0013,00,008(3)0,041(6)0,1(6),501
!
1
)1(...
!4
1
!3
1
!2
1
1
)1(...)(
1
1
1
4321
n
n
SSSSSAP
n
n
nn
n
nnnn
+
+
+
−++−+−+−=
=−++−+−=
=−++−+−=
Вычислим P(A) при последовательных значениях n = 3, 4, … .
n
P(A)
3
66667,0
3
2
6
4
6
1
2
1
1 ≈==+−
4
62500,0
8
5
24
15
24
1
3
2
===−
5
63333,0
30
19
120
76
120
1
8
5
!5
1
8
5
≈==+=+
6
63194,0
144
91
720
455
720
1
30
19
!6
1
30
19
≈==−=−
7
63214,0
5040
1
145
91
!7
1
144
91
≈+=+
Таким образом, мы пришли к удивительному на первый взгляд выводу: если число парламента-
риев 3 или более, то вероятность того, что хотя бы один из них возьмет свой портфель практически
одинаковая (около 0,63)
17
. Эта вероятность превышает 0,5, поэтому попытка открыть своим кодом
случайно взятый портфель может быть удачной.
Не следует думать, что это – «жизненно-производственная» задача. Это пример использования
математического аппарата и пример построения математической модели реального процесса. При-
чем, рассмотренный пример может быть основой для построения математической модели во многих
других ситуациях. Например, рассмотрим такую задачу.
Задача. На столе у преподавателя находятся несколько одинаковых по внешнему виду зачет-
ных книжек студентов. Насколько вероятно событие, состоящее в том, что хотя бы один студент
получит свою зачетку, если преподаватель раздаст их не открывая?
Ясно, что «парламентарии» заменились на «студентов», а «дипломаты» заменились на «зачет-
ные книжки». Можно дать общую формулировку такого рода задач.
Имеются два конечных множества А и В с равным количеством элементов Aa
i
∈
и Bb
i
∈
,
ni ...,,1= . Между элементами множеств существует взаимно-однозначное соответствие: a
i
соответ-
ствует b
i
, ni ...,,1= . Произвольным образом образуют пары (a
i
, b
k
), ni ...,,1
=
, nk ...,,1= из элементов
множеств А и В. Какова вероятность того, что хотя бы одна пара удовлетворяет первоначальному
соответствию?
9 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
На практике часто возникают задачи на выяснение степени зависимости одних событий от дру-
гих. Например, при анализе результатов того или иного испытания перед наблюдателем часто воз-
никает вопрос о том, как влияет на возможность появления некоторого события А наступление дру-
гого события В. Ведь получение добавочной информации может изменить значение вероятностей
тех или иных исходов испытания, в результате которых может произойти событие А. В теории ве-
роятностей для оценки степени зависимости случайных событий используют понятие условной ве-
роятности.
Определение. Условной вероятностью события А относительно события В называется число,
выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие В.
Обозначение: Р
В
(А) или Р(А/В).
Для того, чтобы уметь находить это число (а, следовательно, и оценивать степень зависимости
случайных событий), рассмотрим несколько утверждений, исключив бессодержательный случай
Р(А) = 0, Р(В) = 0 (т.е. мы считаем далее, что А, В не являются невозможными событиями).
17
С точки зрения математики, выражение для Р(А) представляет собой сумму первых n членов знакочередующегося ряда, сумма ко-
торого равна
63,0
1
1 ≈−
e
.

Страницы