Математика случайного. Пучков Н.П - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)()()()()()()( ВАВАВАВАВАВАВАВА IUIUIIUIUIUIU ==
.
Заметим, что события ВАВАВА III , , попарно несовместные, поэтому по следствию 1 из тео-
ремы 1:
)()()()( ВАРВАРВАРВАР IIIU ++= .
Учитывая равенство )()()( ВАРВАРАР II += (в силу )()( ВАВАА UUI= ) и аналогичное ему
)()()( ВАРВАРВР II += (или )()()( ВАРВРВАР II −= ), получим: )()()()( ВАРВРАРВАР IU −+= . Теоре-
ма доказана.
Заметим, что теорема 1 является частным случаем теоремы 2.
Теорему 2 можно распространить на любое число событий. Найдем, например, )(
321
AAAP UU .
Обозначим
232
BAA =U . Тогда:
)()()()(
212121
BAPBPAPBAP IU
−
+
=
;
)()()()()(
3232322
AAPAPAPAAPBP IU
−
+
=
= ;
(
)
(
)
;)()()(
)()()()(
3213121
312132121
AAAPAAPAAP
AAAAPAAAPBAP
IIII
UUIUII
−+=
===
;)()(
)()()()()()(
32131
2132321321
AAAPAAP
AAPAAPAPAPAPAAAP
III
IIUU
+−
−−−++=
Выскажем гипотезу, что структура формулы для подсчета вероятности суммы п случайных со-
бытий следующая:
сначала идет сумма вероятностей всех п событий )(...)()(
21 n
APAPAP
+
+
+
, которую мы обозначим
S
1n
;
далее, сумма вероятностей всевозможных произведений пар событий
)(...)()(
13121 nn
AAPAAPAAP III
−
+++ , которую мы обозначим S
2n
и в общей формуле будем брать со
знаком «минус».
Аналогично,
)(...)()(
124213213 nnnn
AAAPAAAPAAAPS IIIIII
−−
+
+
+
= ;
...
)...(
21 nnn
AAAPS III
=
.
В итоге
nn
n
nnnnn
SSSSSAAAP
1
432121
)1(...)...(
+
−++−+−=UUU .
Проверим истинность предположения методом математической индукции (для начального зна-
чения n = 2 предположение уже доказано). Найдем структуру формулы для (n + 1)-го множества,
предполагая что для события
n
AAAA UUU ...
21
= данная формула справедлива:
.)1(...)...()1(
...)(...)(
))(...)()(())((
)()()1(...
)()()()(
11
2
1211121
2
111213
11211211
11
1
4321
111
++
+
+++
+
+−+
++++
++
+
+++
−++−=−+
++++++
+++++−+=
=−+−++−+−=
=−+=
nn
n
nnn
n
nnnnn
nnnnnnn
nnnn
n
nnnn
nnn
SSSAAAP
AAAPAAAPS
AAPAAPAAPSAPS
AAPAPSSSSS
AAPAPAPAAP
III
IIII
III
I
IU

Страницы