Математика случайного. Пучков Н.П - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

....,,1 ,
)()(...)()(
)()(
)(
1
1
ni
APBPAPBP
APBP
ВР
n
i
BnB
Bi
iА
=
++
=
Доказательство. Так как
)()()()()(
iABii
BPAPAPBPВАР
i
==I
, то
....,,1 ,
)(
)()(
)( ni
AP
APBP
ВР
i
Bi
iА
==
За-
меняя Р(А) по теореме о полной вероятности, получим утверждение следствия. Следствие доказано.
Теорема Байеса обычно интерпретируется следующим образом. Предположим, что событие А
может произойти при одной из n взаимоисключающих гипотез. Событие
i
В играет роль i-й гипоте-
зы. Известна вероятность события А при каждой из гипотез. Из априорных (известным предвари-
тельно, до проведения опыта) соображений гипотезам можно приписать определенные вероятности.
Пусть в результате опыта произошло событие А. Условные вероятности гипотез
i
В при условии, что
наблюдалось А (т.е. )(
iA
BP ), называются апостериорными (вычисленные после опыта) вероятностя-
ми. Теорема Байеса дает значения апостериорных вероятностей гипотез. Другими словами, форму-
лы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез по результатам произведенного опыта.
Пример. При обследовании больного появилось подозрение на одно из двух заболеваний В
1
и В
2
. Их вероятности в данных условиях были оценены 6,0)(
1
=
ВР , 4,0)(
2
=ВР .
Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или
отрицательная реакция (например, повышение температуры при приеме лекарственного средства).
Опыт медицинской работы показывает, что в случае болезни В
1
вероятность положительной реак-
ции равна 0,9, отрицательной – 0,1; в случае В
2
положительная и отрицательная реакции равноверо-
ятны. Анализ провели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной. Требуется переоценить
вероятность каждого заболевания после проделанных анализов.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что отрицательная реакция на препарат была дваж-
ды. Тогда
01,01,01,0)(
1
=
⋅=AP
B
(как вероятность произведения независимых событий) и, соответст-
венно,
=)(
2
AP
B
25,05,05,0 =⋅= . Так как событие А произошло, то по формуле Байеса имеем:
06,0
25,04,001,06,0
01,06,0
)()()()(
)()(
)(
21
1
21
1
1
≈
⋅+⋅
⋅
=
+
=
АРВРАРВР
АРВР
ВР
ВВ
В
А
;
94,0
25,04,001,06,0
25,04,0
)(
2
≈
⋅+⋅
⋅
=ВР
А
.
Отсюда видно, что полученные результаты анализов дают веские основания предполагать бо-
лезнь
2
В .
12 ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «МАТЕМАТИКА СЛУЧАЙНОГО»
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
20
1 Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
Решение. Испытание – два раза подбрасывается монета и фиксируется каждый раз верхняя сторона
монеты.
Событие А – хотя бы один раз появится «герб».
Число всех исходов в испытании – …….(герб, герб; герб, решка; …).
Число благоприятных для события А исходов – …….
Вероятность события А равна Р(А) = …
Ответ: 0,75.
2 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера (т.е. каждое
ребро разделено на 5 равных частей). Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик,
взятый наудачу, будет иметь а) одну; б) две; в) три окрашенные грани.
20
Решение нижеследующих задач основано на классическом определении вероятности. Алгоритм решения показан в задаче 1, где
необходимо заполнить пропуски, отмеченные многоточием.

Страницы