Математика в экономике. Пучков Н.П - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

. ; ;
00
Ztatyybtxx
∈
+
=
−
=
С другой стороны, при любых значениях t имеем:
а
(х
0
– bt) + b (y
0
+ at) = ах
0
+ by
0
= с,
т.е. ничего, кроме решений, эти формулы не задают.
Способ нахождения какого-нибудь целочисленного решения уравнения ах + by = с,
0≠с проиллюстрируем на
примере.
Пусть дано уравнение 8х + 13y = 11. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных
13
8
следующим образом:
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
3
5
1
1
1
1
1
5
3
1
1
1
1
5
8
1
1
1
8
5
1
1
8
13
1
13
8
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
==
.
Дальнейшее преобразование ничего не изменит.
Мы получили выражение, которое называется конечной цепной дробью или непрерывной дробью. Число
2
1
называется
последним звеном этой дроби. Отбросим последнее звено и произведем «обратный ход», превратив цепную дробь в
простую.
5
3
3
5
1
3
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
==
+
=
+
+
=
+
+
+
.
Запишем разность
.
513
1
513
31358
5
3
13
8
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
=−
Очевидное равенство числителей
131358 =⋅−⋅ умножим на 11 и запишем в виде
(
)( )
.11113131158 =⋅−+
⋅
Из сопоставления полученного равенства с уравнением
11138
=
⋅
+
⋅
yх
следует, что 33113 ;55115
00
−
=
⋅
−
=
=⋅= yх
являются одним из решений уравнения, а все целочисленные решения имеют вид:
. ;833 ;1355 Zttytx
∈
−
−
=
+
=
Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения целочисленных решений
уравнения ах + by = с надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных а
/ b в цепную дробь, отбросить ее
последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были приведены выше.
Примеры решения задач
Задача 1. Для перевозки большого числа контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли
загрузить такими контейнерами машины полностью?
Решение. Составим математическую модель задачи. Обозначим через х количество контейнеров по 170 кг и через y –
количество контейнеров по 190 кг. Тогда, в соответствии с условием задачи, должно быть:
170х + 190y = 3000, или 17х + 19y = 300,
где х и y могут быть только целыми положительными числами.
Найдем одно из возможных целочисленных решений, используя разложение 17/19 в непрерывную дробь.
2
1
8
1
1
1
2
17
1
1
1
17
2
1
1
17
19
1
19
17
+
+
=
+
=
+
==
.

Страницы