Математика в экономике. Пучков Н.П - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.50034)55041250(10)550 ,1250()(
;00033)50041300(10)500 ,1300()(
;00034)60041000(10)600 ,1000()(
;00030)50041000(10)500 ,1000()(
=⋅+==
=⋅+==
=⋅+==
=
⋅
+
=
=
ПЕП
ПDП
ПFП
ПСП
Таким образом, наибольшая прибыль достигается при х = 1250 и у = 550, т.е. в фермерском хозяйстве целесообразно (в
плане получения наибольшей прибыли) засеять 1250 га первой культурой и 550 га – второй.
2) Решение по максимуму рентабельности.
Для рентабельности имеем формулу (4), откуда
x
R
R
y
84
15
−
−
=
(7)
или иначе, y = kx,
где
.
)21(4
15
R
R
k
−
−
=
Можно считать, что R не равно 1/2, так как если R = 1/2, то согласно формуле (4) имеем 2х + 8y = 5х + 8y, т.е. х = 0, что
противоречит ограничению х ≥ 1000. Уравнение (7) представляет собой уравнение пучка прямых, проходящих через начало
координат. Выясним, как изменяется k в зависимости от R. Найдем первую производную k по R. Имеем
.
)21(4
3
2
R
dR
dk
−
=
Так как
,0>
dR
dk
то и
dk
dR
также положительно, увеличение k влечет за собой увеличение R. Так как нам необходимо,
чтобы R достигло наибольшего значения, то следует выбрать k = tgα (рис. 11). Этот угол α будет наибольшим среди
углов, образованных осью ОХ и прямыми, проходящими через начало координат и одну из точек многоугольника. На
рисунке видим, что решение получается уже не в точке Е, а в точке F. Так как точка F является точкой пересечения
прямых х = 1000 и х + 5y = 4000, то решая систему, находим координаты точки и тем самым ответ в виде х =
1000 га, y = 600 га.
3) Решение по максимуму прибыли с гектара.
Прибыль с 1 га будет определяться по формуле (5), разрешая которую относительно y, имеем
y = kx,
где
1
1
40
10
П
П
k
−
−
=
.
При этом считаем, что П
1
не равно 40, в противном случае из формулы (5) следует, что х = 0, что противоречит
ограничению х ≥ 1000. Для производной
1
dП
dk
имеем
2
1
1
)40(
30
П
dП
dk
−
=
, и так как
1
dП
dk
, а следовательно и
dk
dП
1
положительны, то для увеличения П
1
надо увеличивать поворотом луча y = kx против часовой стрелки, т.е. опять получим
решение в точке F (рис. 11). Следовательно, решения задачи 2 и 3 совпадают.
Задача решена.
Задачи для самостоятельной работы
5.1 На изготовление одного стола требуется 0,15 м
3
древесины, а одного шкафа 0,2 м
3
, причем доход,
полученный от реализации одного стола, равен 10 д. е., а одного шкафа 16 д. е. Сколько столов и сколько шкафов
нужно изготовить из 60 м
3
древесины, чтобы обеспечить наибольший доход от их реализации?
У к а з а н и е. Ограничения имеют вид:
≥≥
=+
.0 ,0
;602,015,0
yx
yх

Страницы