Неопределенный интеграл. Пучков Н.П - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
dx
x
x
2
ln
;
∫
dx
x
x
2
cos
tg
;
∫
xdxx
5
sincos
;
∫
+
dx
x
x
2
3
1
arctg
;
(
)
xdx
x
⋅−
∫
4
2
63
;
∫
dxxe
x
2
3
;
∫
−− )12(ln)12(
3
xx
dx
;
∫
+
dx
x
x
4
3
1
;
∫
−
2
1
x
xdx
;
∫
+
x
xdx
3sin2
3cos
.
Правило интегрирования, основанное на этом свойстве, носит название «правило подведения вспомога-
тельной функции под знак дифференциала». Это правило можно изложить следующим образом: если
подынтегральное выражение разбивается на два сомножителя, один из которых есть дифференциал та-
кой функции, через которую легко выражается другой сомножитель, то эту функцию можно принять за
вспомогательную.
∗
Пример
.
(
)
(
)
)(sinsincossin
sinsin
xdxedxxxe
xx
∫∫
+=+
.
Если в качестве вспомогательной функции взять
x
sin
, то искомый интеграл равен
C
x
e
x
++
2
sin
2
sin
.
В общем случае выбор вспомогательной функции не является простым, однако есть случай, когда такой
выбор не представляет трудности.
Правило. Если подынтегральная функция имеет вид
)(
baxf
+
, где
a
и
b
– некоторые числа, то в качестве
вспомогательной функции можно выбрать
baxxu
+
=
)(
. В этом случае
adxbaxddu
=
+
=
)(
, и
∫
=+
dxbaxf
)(
∫
++=++=
CbaxF
a
baxdbaxf
a
)(
1
)()(
1
, если
∫
+=
CxFdxxf
)()(
. Например
∫
++=
+
Cbax
abax
dx
ln
1
.
Примеры
:
1.
∫ ∫
+−=−−=−
Cxxdxdxx
)12sin(
2
1
)12()12cos(
2
1
)12cos(
.
2.
Cx
x
dx
++=
+
∫
53ln
3
1
53
.
3.
∫ ∫
+=
+
=
+
Cx
x
dx
x
dx
2arctg
2
1
)2(141
22
.
4.
C
x
C
x
x
dx
x
dx
+=+=
−
=
−
∫ ∫
3
arcsin3
3
arcsin
31
1
3
1
9
1
22
.
5.
∫
+−−=−
Cxdxx
1110
)5(
11
1
)5(
.
∗
Искусственно выбранная функция, которая «помогает» най-
ти интеграл.
Найдите самостоятельно следующие интегралы:
∫
−
x
dx
52
;
dxx
∫
−
3
74
;
(
)
∫
−
dxx
5
13
;
∫
+ 58
x
dx
;
(
)
dxx
∫
− 32tg
;
∫
+ 34
2
x
dx
;
∫
−
2
37
x
dx
.
На практике это правило приходится комбинировать с такими тождественными преобразованиями подын-
тегральной функции, которые способствуют («подготовляют почву») для введения вспомогательной функ-
ции.

Страницы