Неопределенный интеграл. Пучков Н.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Например, в нижеследующих интегралах вынесение в подынтегральной функции постоянного числа
2
a
за скобки позволяет свести их к табличным. Это интегралы часто относят к категории основных (опор-
ных) и включают в таблицу интегралов:
∫∫∫
=
−
=
−
=
−
2
2
2
22
1
1
1
a
x
dx
a
a
x
a
dx
xa
dx
C
a
x
C
a
x
aa
+=+⋅= arcsinarcsin
1
11
;
C
a
x
a
C
a
x
a
a
a
x
dx
axa
dx
+=+⋅=
+
=
+
∫ ∫
arctg
1
arctg
1
11
1
1
22222
.
Использование приёма, применённого в примере 19 на стр. 9, (тождественное преобразование числите-
ля дроби с целью дальнейшего получения двух, более простых, дробей), позволяет найти, что:
[ ]
.ln
1
lnln
1
1
)(
)(1
)(
1
)(
C
ax
x
a
Caxx
a
ax
dx
x
dx
a
dx
axx
xxa
aaxx
adx
aaxx
dx
+
+
=++−
=
+
−=
+
−+
=
+
=
+
∫∫∫ ∫ ∫
Аналогично
(
)
=
+−
++−
=
+−
=
+−
=
−
∫ ∫ ∫ ∫
))((
)()(
2
1
))((
2
2
1
))((
22
xaxa
dxxaxa
axaxa
adx
axaxa
dx
xa
dx
[ ]
C
xa
xa
a
Cxaxa
axa
dx
xa
dx
a
+
−
+
=+−−+=
−
+
+
=
∫ ∫
ln
2
1
lnln
2
1
2
1
.
Здесь последовательно использованы тождественные преобразования числителя дроби, стоящей под
знаком интеграла: умножение и одновременное деление на число 2
а
, прибавление и одновременное вы-
читание переменной
x
; в результате в числителе образовалась сумма двучленов
a
–
x
и
a
+
x
, стоящих
произведением в знаменателе и после деления каждого из слагаемых двучленов числителя на знамена-
тель, неизвестный интеграл удалось свести к сумме двух известных интегралов.
Хотелось бы отметить, что в учебниках изложены общие правила интегрирования рациональных дро-
бей, какой является и дробь
22
1
x
a
−
; однако здесь мы стараемся не просто показать формальные алго-
ритмы интегрирования, а «заставить думать» на несложных примерах.
Очевидно, что
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22
.
Этот интеграл также относят к категории табличных.
В частности:
( )
=+
+
−
⋅
=
−
=
−
∫∫
C
x
x
x
dx
x
dx
35
35
ln
352
1
3
1
35
3
1
53
2
2
2
C
x
x
+
+
−
53
53
ln
30
15
.
В методе подведения вспомогательной функции
v
(
x
) под знак дифференциала мы стремились подынте-
гральное выражение
dxxf
)(
представить в виде произведения двух новых сомножителей
(
)
)(
1
xvf
и
)(
xdv
полагая, что
∫
dv
vf
)(
1
должен стать табличным.

Страницы