ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Например, если в интеграле
∫
+
x
xdx
2
sin
1
cos
за вспомогательную функцию выбрать
xxv
sin)( =
, то
)(sincos
xdxdx
=
,
)(sin
sin
1
1
1
2
xf
x
=
+
и
∫
=
+
x
xdx
2
sin
1
cos
CxCv
v
dv
+=+=
+
=
∫
)(sinarctgarctg
1
2
.
Представление подынтегрального выражения в виде произведения некоторой функции
u
(
x
) и диффе-
ренциала
dv
(
x
) другой функции
v
(
x
) бывает полезным даже в том случае, когда
u
(
x
) не имеет явного
выражения через
v
(
x
) и, таким образом, метод подведения вспомогательной функции под знак диффе-
ренциала «не работает», С таким представлением связана формула «интегрирования по частям».
Пусть
u
(
x
) и
v
(
x
) – некоторые функции от
x
, имеющие непрерывные производные, тогда
∫ ∫
−= )()()()()()(
xduxvxvxuxdvxu
∗
.
Эта формула полезна в тех случаях, когда интеграл
∫
)()(
xduxv
находится проще (например, становится
табличным), чем исходный интеграл
∫
)()(
xdvxu
.
Например:
∫
⋅
xdxx
ln
. Если принять
xxu
ln)( =
,
xdxxdv
=)(
, тогда
x
dx
dxxxdu
=
′
= )(ln)(
,
∫ ∫
===
2
)()(
2
x
xdxxdvxv
(
0
=
C
)
и
∫∫
=⋅−=⋅
x
dxx
x
x
xdxx
2
ln
2
ln
22
∫
−
xdxx
x
2
1
ln
2
2
.
Последний интеграл – табличный:
∫
+=
C
x
xdx
2
2
, поэтому такая замена оказалась успешной и
∗
Вывод этой формулы основан на почленном интегрир
о-
вании формулы дифференцирования произведения двух фун
к-
ций:
(
)
( )
∫ ∫ ∫
+=
+=
).()()()()()(
:)()()()()()(
xdvxuxduxvxvxud
xdvxuxvxduxvxud
откуда, учитывая, что
(
)
∫
= )()()()(
xvxuxvxud
получается форм
у-
ла интегрирования по частям.
∫
+−=+⋅−=⋅
Cx
x
C
x
x
x
xdxx
)1ln2(
4
2
2
1
ln
2
ln
222
∗∗
.
Способ разделения подынтегрального выражения на две части весьма принципиален, например, если в
том же интеграле
∫
⋅
xdxx
ln
примем
dxxxdvxxu
⋅
=
=
ln)(;)(
, тогда
dxdxxxdu
=
′
= )()(
;
∫ ∫
==
xdx
xdvxv
ln)()(
– не
является табличным, хотя и более простой интеграл, чем исходный.
Поэтому, прежде чем применять метод интегрирования по частям, следует мысленно прикинуть, что
даёт нам то или иное расщепление подынтегрального выражения на два множителя.
Примеры:
