Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пучков Н.П - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

22
Правило умножения матриц обобщается на любое конечное число
сомножителей. Произведение матриц обладает следующими свойствами:
1. (АВ)
С = А
(ВС) − ассоциативность;
2. λ
(АВ) = (
λ
А)
В = А
(λВ);
3. (А + В)
С = АС + ВС − дистрибутивность относительно сложения;
4. С
(А + В) = СА + СВ − дистрибутивность относительно сложения;
5.
(
)
ТТ
Т
АВВА =
;
6.
(
)
BAАВ detdetdet =
;
7. ЕА = АЕ =А − свойство единичной матрицы Е.
Таким образом, единичная матрица Е порядка п перестановочна с
любой квадратной матрицей А того же порядка.
Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенствами
11
раз
−−
==⋅⋅⋅=
пп
п
п
АААААААА
43421
K
и
Е
А
=
0
.
Для произведения степеней матриц справедливо равенство
qppqqр
А
А
А
А
А
+
=
=
,
K,2,1,0,
=
qp
.
Пример 2.3. Найти
п
А
для матрицы
=
10
11
А
.
Решение. Вычислим вторую и третью степень матрицы:
=
=
=
=
10
31
10
11
10
21
;
10
21
10
11
10
11
32
АА
.
Установив закономерность, сделаем предположение:
=
10
1 п
А
п
.
Докажем этот факт по индукции:
+
=
==
+
10
11
10
11
10
1
1
пп
ААА
пп
.
Предположение подтвердилось:
=
10
1 п
А
п
.
Если теперь возвратиться к системе (1.1), то её в матричной форме
можно записать в виде
BXA
=
.

Страницы