ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
2.3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Операция деления для матриц не определена. Аналогом её является
умножение на обратную матрицу. Понятие обратной матрицы вводится
только для квадратных матриц. Итак, пусть А – квадратная матрица.
Определение 2.1. Матрица А
–1
называется обратной матрице А,
если
АА
–1
= А
–1
А = Е, (2.1)
где Е – единичная матрица.
Определение 2.2. Матрица А называется невырожденной, если
detA ≠ 0.
Теорема 2.1 (о существовании обратной матрицы). Всякая невыро-
жденная матрица А имеет обратную матрицу А
–1
, равную
A
A
AAA
AAA
AAA
A
А
nnnn
n
n
~
det
1
det
1
21
22212
12111
1
=
=
−
K
LLLL
K
K
, (2.2)
где
ij
А
– алгебраические дополнения матрицы А.
Матрица
A
~
называется присоединённой матрицей.
Доказательство. Пусть дана квадратная невырожденная матрица
=
пnпп
n
n
aaa
aaa
aaa
A
K
LLLL
K
K
21
22221
11211
.
Для получения присоединённой матрицы
A
~
на место каждого эле-
мента матрицы А записывается его алгебраическое дополнение, и полу-
ченная матрица транспонируется.
Докажем формулу (2.2) проверкой равенства (2.1). Проверим снача-
ла, что
EAA
A
A
A
ААА ===
−
~
det
1
~
det
1
1
.
Действительно, при умножении матриц
AA
~
получается матрица С,
элементы которой
ij
с
образуются при умножении i-й строки матрицы А
на j-й столбец матрицы
A
~
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
