Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пучков Н.П - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

41
Исследование ступенчатой системы в конце прямого хода происходит
по теореме Кронекера – Капелли сравнением рангов матрицы системы А и
расширенной матрицы А′. При этом возможны следующие случаи:
1) если
)()( ArAr >
′
, то система несовместна (по теореме Кронекера –
Капелли);
2) если
nArAr ==
′
)()(
, то система (3.1) является определённой (без
доказательства);
3) если
nArAr <=
′
)()(
, то система (3.1) является неопределённой
(без доказательства).
Для системы с квадратной матрицей, т.е. если п = т, равенства
=
′
)(Ar nAr =)(
равносильны тому, что
0
≠
∆
.
Если система является неопределённой, т.е. выполняется
nArAr <=
′
)()(
, то некоторые её неизвестные объявляются свободными,
а остальные через них выражаются. Количество свободных неизвестных
равно
)(Arnk −=
.
При выполнении обратного хода метода Гаусса по ступенчатой мат-
рице восстанавливается система уравнений и находится её решение. Если
в очередном уравнении после подстановки найденных ранее переменных,
неизвестных остаётся более одного, то свободными неизвестными объяв-
ляются любые неизвестные, кроме одного.
Пример 3.3. Решить систему уравнений
=+−−
−=−+
−=++
.32
,62
,552
zyx
zyx
zyx
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведём её к
ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход):
−
−
−−
−=
′
3
6
5
112
121
152
A
∼
↵
↵
×−×
−
−
−−
− 2)2(
3
5
6
112
152
121
∼
↵
−×
−
−
−
−
)3(
9
7
6
130
210
121
∼
∼
)10(:30
7
6
1000
310
121
−
−
−
−
−
∼
−−
3
7
6
100
310
121
.
,3)()( ===
′
nArAr
поэтому система совместна и имеет единственное
решение, т.е. является определённой.

Страницы