ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
48
По определению 4.4 коллинеарные векторы расположены на одной
прямой или на параллельных прямых.
Теорема 4.1. Любой вектор плоскости единственным образом можно
представить в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных
векторов этой плоскости.
Доказательство. Приведём геометрическое доказательство теоремы.
Рассмотрим на плоскости (рис. 4.8) два неколлинеарных вектора
a
r
и
b
r
и
произвольный вектор
x
r
. Поместим начала всех трёх векторов в одну
точку О. На рисунке 4.8 приведена одна
из возможных ситуаций взаимного рас-
положения векторов. Построим паралле-
лограмм, диагональю которого является
вектор
x
r
, со сторонами, параллельными
прямым, на которых лежат векторы
a
r
и
b
r
. Тогда по правилу параллелограмма
bax
r
r
r
µ+λ=
. (4.2)
Если вектор
x
r
коллинеарен одному из векторов
a
r
или
b
r
, то парал-
лелограмм вырождается в отрезок, и одно из чисел λ или µ будет равно
нулю.
Докажем единственность выражения (4.2). От противного: предпо-
ложим, что существуют два других числа α и β, например, α ≠ λ, такие,
что
bax
r
r
r
β+α=
.
Вычтем из последнего равенства равенство (4.2), тогда по свойствам
линейных операций
( ) ( ) ( ) ( )
bababa
r
r
r
r
r
r
r
λ−α
β−µ
=⇒β−µ=λ−α⇒µ−β+λ−α=θ
.
Векторы
a
r
и
b
r
связаны равенством (4.1), т.е. коллинеарные, что
противоречит условию теоремы. Следовательно, выражение (4.2) единст-
венное.
Теорема доказана.
Определение 4.6. Три вектора
a
r
,
b
r
и
c
r
называются компланар-
ными, если один из них можно представить в виде линейной комбинации
остальных, т.е. существуют такие числа λ и µ, что выполняется равенство
bac
r
r
r
µ+λ=
. (4.3)
a
r
λ
b
r
µ
x
r
a
r
b
r
O
Рис. 4.8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
