ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
Из равенства (4.3) следует, что вектор
c
r
является диагональю парал-
лелограмма, построенного на векторах
a
r
λ
и
b
r
µ
, следовательно, векторы
a
r
,
b
r
и
c
r
лежат в одной плоскости. Итак, компланарные векторы лежат в
одной плоскости или в параллельных плоскостях (так как векторы можно
перемещать параллельно себе в пространстве).
Теорема 4.2. Любой вектор
x
r
пространства единственным образом
можно представить в виде линейной комбинации трёх некомпланарных
векторов, т.е.
cbax
r
r
r
r
γ+µ+λ=
,
где векторы
a
r
,
b
r
и
c
r
некомпланарны; λ, µ, γ – числа.
Доказательство геометрически аналогично доказательству теоремы 4.1.
Определение 4.7. Любые два упорядоченных неколлинеарных век-
тора называются базисом на плоскости. Любые три упорядоченных не-
компланарных вектора называются базисом в пространстве.
Плоскость и пространство будем обозначать R
2
и R
3
, соответственно,
по числу базисных векторов. Пусть
321
,, eee
r
r
r
– базис в пространстве R
3
.
Аналогично теореме 4.1, для любого вектора
3
Rx ∈
r
выполняется равенство
332211
eeex
r
r
r
r
α+α+α=
, (4.4)
которое называется разложением вектора
x
r
по базису
321
,, eee
r
r
r
. Анало-
гичное разложение можно записать и для векторов плоскости R
2
.
Определение 4.8. Коэффициенты
321
,, ααα
в разложении вектора
по базису называются координатами вектора в этом базисе.
Обозначение:
{
}
321
,, ααα=x
r
в базисе
321
,, eee
r
r
r
.
Для дальнейшего изучения пространств R
2
и R
3
необходимо ввести в
рассмотрение прямоугольный декартовый базис. Рассмотрим три упоря-
доченных вектора единичной длины (орта)
kji
r
r
r
,,
, попарно перпендику-
лярных и направленных так, что из конца
третьего вектора (
k
r
) кратчайший поворот от
первого вектора (
i
r
) ко второму вектору (
j
r
)
виден против часовой стрелки (рис. 4.9). Та-
кая ориентация векторов называется правой.
В противном случае (когда поворот по часо-
вой стрелке) тройка векторов называется лево
ориентированной (тройка
kji
r
r
r
,,
– левая).
k
r
j
r
i
v
Рис. 4.9
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
