ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
57
Доказательство в случае одного из
возможных расположений векторов
следует из рис. 5.5. Действительно, по
определению 5.2
(
)
.пpпp
пp
ba
BCABACba
ll
l
r
r
r
r
+=
=+==+
Свойство 5.2. При умножении вектора на число λ его проекция
умножается на это число
(
)
aa
ll
r
r
пpпp λ=λ
. (5.1)
Докажем равенство (5.1). При λ > 0 векторы
a
r
и λ
a
r
образуют с
осью l один и тот же угол. По теореме 5.1
(
)
aaaa
ll
r
r
r
r
пpcoscosпp λ=ϕλ=ϕλ=λ
.
При λ < 0 векторы
a
r
и λ
a
r
образуют с осью l соответственно углы ϕ и
ϕ + π. По теореме 5.1
(
)
(
)
(
)
aaaaa
ll
r
r
r
r
r
пpcoscoscosпp λ=ϕλ=ϕ−λ=π+ϕλ=λ
.
При λ = 0 получаем очевидное равенство
(
)
aa
lll
r
r
r
пp00пpпp ⋅==θ=λ
.
Следствие из свойств 5.1 и 5.2. Проекция линейной комбинации век-
торов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.
(
)
baba
lll
r
r
r
r
пpпpпp
2121
λ+λ=λ+λ
.
Координаты вектора в прямоугольном декар-
товом базисе принимают простой геометрический
смысл. Возьмём произвольный вектор
3
Ra ∈
r
,
начало которого совместим с началом координат.
На рисунке 5.6 приведено одно из возможных
расположений вектора
a
r
– в первом октанте.
Построим параллелепипед, у которого три ребра лежат на осях координат, а
диагональю является вектор
a
r
. Тогда по правилу параллелограмма
kaOAa
z
r
r
r
⋅+=
0
1
пp
,
где
1
A
– проекция точки А (конца вектора
a
r
) на координатную плоскость
Oxy. Вектор
1
OA
тоже можно разложить на сумму двух векторов по пра-
вилу параллелограмма:
jaiaOA
yx
r
r
r
r
⋅+⋅=
00
1
пpпp
.
z
z
а
А
k
r
a
О
i
r
j
r
у
а у
х
а A
1
х
Рис. 5.6
a
r
b
a
ba +
О
А
В
С
l
Рис. 5.5
a
r
ba
r
r
+
b
r
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
