Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пучков Н.П - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

59
5.2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ЕГО СВОЙСТВА
Определение 5.4. Скалярным произведением двух векторов
a
r
и
b
r
называется число
ba
r
r
, равное произведению длин этих векторов на коси-
нус угла между ними, т.е.
(
)
ϕ== cos,
bababa
r
r
r
r
r
r
. (5.4)
Из определения 5.4 по теореме 5.1 следует (см. рис. 5.8)
abbaba
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
пpпp ==
. (5.5)
Свойства скалярного произведения:
1)
abba
r
r
r
r
=
;
2)
(
)
cbcacba
r
r
r
r
r
r
r
+=+
;
3)
(
)
(
)
(
)
bababa
r
r
r
r
r
r
,,, λ=λ=λ
;
4)
2
2
aaaa
r
r
r
r
== .
Доказательство свойств скалярного произведения.
1. Непосредственно из формулы (5.4) получаем
ababbaba
r
r
r
r
r
r
r
r
=ϕ=ϕ=
coscos
.
2. Из формулы (5.5) и по свойствам проекций
(
)
(
)
cbcababacba
ccc
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
+=+=+=+
пpпpпp
.
3. Пусть λ > 0, тогда угол между векторами a
r
и λ b
r
такой же, как и
между векторами a
r
и b
r
, т.е. равен φ, тогда по определению 5.4
(
)
(
)
(
)
bababababa
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
,,coscos,
λ=λ=ϕλ=ϕλ=λ .
Пусть λ < 0, тогда угол между векторами a
r
и λ b
r
равен ϕ ± π, так как
направление вектора λ b
r
отличается на π от направления вектора b
r
(про-
тивоположное к b
r
), тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
babababababa
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
,,coscoscos, λ=λ=ϕλ=ϕ−λ−=π+ϕλ=λ
.
При λ = 0 свойство очевидно.
4.
( )
2
0cos, aaaaaaaaa
r
r
r
r
r
r
r
r
r
==°== .
5. Признак ортогональности векторов a
r
и b
r
( a
r
⊥ b
r
).
b
a
ϕ
пр
b
a
Рис. 5.8
ϕ
a
r
b
r
a
b
r
п
p

Страницы