Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пучков Н.П - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

61
{
}
;,,
zyxzyx
aaakajaiaa =++=
r
r
r
r
{
}
.,,
zyxzyx
bbbkbjbibb =++=
r
r
r
r
По свойствам скалярного произведения
(
)
(
)
.kkbajkbaikbakjbajjbaijba
kibajibaiibakbjbibkajaiaba
zzyzxzzyyyxy
zxyxxxzyxzyx
rr
r
r
r
r
v
vvv
r
v
r
r
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
++++++
+++=++++=
Найдём скалярные произведения векторов прямоугольного декарто-
вого базиса по свойствам 4 и 5 скалярного произведения, учитывая, что
они являются попарно ортогональными ортами:
0,1 ========= jkikkjijkijikkjjii
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
.
Тогда окончательно
zzyyxx
babababa ++=
r
r
, (5.6)
т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответ-
ствующих координат этих векторов.
Используя формулу (5.6), запишем признак ортогональности векто-
ров в координатной форме:
a
r
⊥
b
r
⇔
0=++
zzyyxx
bababa
.
Пример. Доказать, что диагонали АС и ВD четырёхугольника с верши-
нами A(1, –2, 2), B(1, 4, 0), C(–4, 1, 1), D(–5, –5, 3) взаимно перпендикулярны.
Решение. Найдём координаты векторов
AC
и
BD
(рис. 5.10), вычитая из координат конца соот-
ветствующие координаты начала вектора:
AC = {–4 – 1, 1 + 2, 1 – 2} = {–5, 3, –1};
BD
= {–5 – 1, –5 – 4, 3 – 0} = {–6, –9, 3}.
По признаку ортогональности векторов
AC ⊥
BD
⇔ AC
BD
= 0,
поэтому вычислим скалярное произведение векторов AC и
BD
по фор-
муле (5.6):
AC
BD
= –5⋅(–6) + 3⋅(–9) – 1⋅3 = 30 – 27 – 3 = 0,
следовательно, векторы AC и
BD
ортогональны (взаимно перпендику-
лярны), что и требовалось доказать.
С
В
D
Рис. 5.10

Страницы