ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
60
Теорема 5.2. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортого-
нальны (перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы скалярное
произведение этих векторов равнялось нулю:
a
r
⊥
b
r
⇔
a
r
b
r
= 0.
Доказательство. Необходимость. Дано:
a
r
⊥
b
r
, следовательно,
cosϕ = 0, где φ – угол между векторами. Тогда скалярное произведение
0cos =ϕ= baba
r
r
r
r
.
Достаточность. Дано:
0=ba
r
r
. По определению скалярного произве-
дения
ϕ= cosbaba
r
r
r
r
.
Из условия теоремы следует, что
0≠a
r
,
0≠b
r
, следовательно, cosϕ = 0.
Тогда
2
π
=ϕ
или
2
3π
=ϕ
, поэтому векторы
a
r
и
b
r
ортогональны. Теорема
доказана.
Рассмотрим механический смысл скаляр-
ного произведения. Пусть материальная точка
движется по прямой l, перемещаясь из точки М
в точку N под действием силы
F
r
(
F
r
– вектор
силы). Как известно из механики, работа А
силы
F
r
будет равна (рис. 5.9)
ϕ= cosMNFA
r
.
В правой части равенства, по определению 5.4, – скалярное произведение
векторов
MNF и
r
:
MNFA
r
=
.
Таким образом, работа, совершаемая при перемещении материальной
точки под действием силы
F
r
, равна скалярному произведению силы на
вектор перемещения.
5.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В КООРДИНАТАХ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ
Найдём формулы вычисления скалярного произведения векторов,
если векторы заданы координатами в базисе
kji
r
r
r
,,
:
r
F
М
N
ϕ
Рис. 5.9
M N
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
