Применение математических знаний в профессиональной деятельности. Пособие для саморазвития бакалавра. Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пучков Н.П - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

87
Пусть в общем уравнении линии второго
порядка (7.1)
0222
22
=+++++ FEyDxCyBxyAx
0
≠
B
. Легко видеть из рис. 7.10, что при
повороте осей координат на угол φ старые
координаты х и у связаны с новыми
x
~
и
y
~
формулами:
.cos
~
sin
~
,sin
~
cos
~
ϕ+ϕ=
ϕ
−
ϕ
=
yxy
yxx
В новых координатах уравнение (7.1) будет иметь вид
(
)
(
)
(
)
+ϕ+ϕϕ−ϕ+ϕ−ϕ cos
~
sin
~
sin
~
cos
~
2sin
~
cos
~
2
yxyxByxA
(
)
(
)
(
)
0cos
~
sin
~
2sin
~
cos
~
2cos
~
sin
~
2
=+ϕ+ϕ+ϕ−ϕ+ϕ+ϕ+ FyxEyxDyxC
.
Раскрывая скобки и приведя подобные, получим уравнение данной
линии в новой системе координат:
0
~
~
2
~
~
2
~
~
~
~
~
2
~
~
22
=+++++ FyExDyCyxBxA
, (7.10)
где
( )
( )
т.д.иsincoscossin
~
,sincossin2cos
~
22
22
ϕ−ϕ+ϕϕ−=
ϕ+ϕϕ+ϕ=
BACB
CBAA
Выберем угол φ так, чтобы
0
~
=B
:
(
)
(
)
0sincoscossin
22
=ϕ−ϕ+ϕϕ− BAC
,
(
)
ϕ−=ϕ 2sin2cos2 CAB
.
Из последнего уравнения видно, что
02
≠
ϕ
, иначе
0
=
B
. Отсюда
B
CA
2
2ctg
−
=ϕ . (7.11)
По формулам тригонометрии
2
2cos1
cos,
2
2cos1
sin,
2ctg1
2ctg
2cos
2
ϕ+
±=ϕ
ϕ−
±=ϕ
ϕ+±
ϕ
=ϕ
находим угол φ, на который нужно повернуть оси координат. Знаки
ϕ
sin
и
ϕ
выбираются произвольно.
Рис. 7.10

Страницы