Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

А В
А U В А I В
A \ B
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
Рассмотрим некоторые важные свойства операций объединения, пересечения и разности. Пусть A,
B, C являются подмножествами для I. Тогда (для удобства в дальнейшем будем нумеровать формулы
параллельно, используя обыкновенную нумерацию и со штрихом):
1) А U В = В U А; 1') A I B =B I A
(эти тождества выражают коммутативность
5
операций объединения и пересечения);
2) (А U В) U С = А U (В U С); 2') (А I В) I С = А I (В I С)
(эти тождества выражают ассоциативность
6
операций объединения и пересечения);
3) А U А = А; 3') А I А = А
(эти тождества называются законами идемпотентности
7
);
4) А U (В I С) = (А U В) I (А U С);
4') А I (В U С) = (А I В) U (А I С)
(эти тождества называются законами дистрибутивности
8
);
5) ВАВА IU = ; 5') ВАВА UI =
(эти тождества называются законами дe Моргана
9
);
6) А U ∅ = А; 6') А
I
I = A;
7) А U
А
= I; 7') A I
А
= ∅.
Докажем свойство 5 на основе таблицы вхождения элементов в множества (табл. 2).
Таблица 2
А В
А U В
BA U
А
В
ВА I
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения
элемента в множества А, В он входит или не входит в левую и правую части доказываемого равенства
одновременно (см. четвертый и седьмой столбцы). Значит ВА U = ВА I .
Впервые система множеств с тремя операциями, удовлетворяющими свойствам 1 − 7, 1' − 7', рас-
сматривалась английским математиком Джорджем Булем (1815 – 1864), в связи с чем такие системы
множеств получили название булевых алгебр.
Задача. Вытекает ли из А \ В = С, что А = В U С? И наоборот, вытекает ли из А = В U С, что А \ В =
С?
Решение. Рассмотрим первый вопрос задачи. Запишем равенство
А = В U С несколько в другом виде: )\( ВАВСВА UU
=
=
. Проверим получившееся соотношение
)\( BABA U= .
5
От латинского слова: commutatius – меняющийся, переставляющий.
6
От латинского слова: assotiatio – соединение.
7
От латинских слов: idem – тот же самый, и potens – способный.
8
От латинского слова: distributivus – распределительный.
9
А. де Морган (1806 – 1871) – шотландский математик.

Страницы