ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Исключив эти «крайние» случаи (т.е. ∅, A), мы получим, так называемые, собственные подмноже-
ства множества A, т.е. такие, которые не пусты и не совпадают с A.
Определение. Множества A и B равны, если одновременно: A ⊂ B и
B ⊂ A (т.е. всякий элемент A принадлежит B и наоборот).
Обозначение: A = B.
В случае равенства множества A и B оказываются состоящими из одних и тех же элементов.
Примеры. 1) A есть множество корней уравнения 045
2
=++ хх ,
B есть множество, состоящее из двух элементов: –1 и –4, A = B.
2) Все теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, – это теорема
о совпадении двух множеств. Например: «Для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и
достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» (сравните с соответствующим при-
мером выше).
3) В городе в течение некоторого времени совершено два похожих ограбления. Оказалось, что дей-
ствовала одна и та же группировка. Если
А – множество лиц, совершивших первое ограбление, а В – множество лиц, совершивших второе ограб-
ление, то А = В.
1.4 Операции над множествами
Множества можно комбинировать между собой и получать другие множества. Среди бесчисленно-
го количества мыслимых способов комбинирования некоторые оказались полезными.
Определение. Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество C, состоящее из
всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B.
Обозначение: C = A U B.
Сделаем только одно очевидное замечание о том, что элементы, входящие в объединение множеств,
нужно учитывать один раз.
Примеры. 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A U B =
= {1; 2; 3; 4; 5}.
2) A = (–∞, 2], B = (1, +∞), тогда C = A U B = R.
3) Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то А U В – множество
студентов – задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).
Аналогично определяется объединение любого количества множеств A
1
, A
2
, ..., A
k
, ... .
Обозначение: A
1
U A
2
U A
3
U ... U А
n
=
i
n
i
A
1=
U
– для конечного числа множеств;
А
1
U А
2
U … U А
k
U … =
i
i
A
∞
=1
U
– для бесконечного (знаки стоящие в правых частях равенств назы-
ваются знаками сокращенного объединения и нужны только для более краткой записи). Построенные
объединения (суммы) состоят из всех элементов, входящих по крайней мере в одно из множеств A
k
.
Пример. A
k
= {k} – натуральное число k, тогда
А
1
U А
2
U … U А
k
U … =
i
i
A
∞
=1
U = N – множество натуральных чисел.
Определение. Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество C, состоящее
из тех элементов, которые принадлежат одновременно каждому из множеств A и B.
Обозначение: C = A I B.
Пример. Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда
C = A
I
B = {2; 3}, A
I
D = ∅.
Аналогично определяется пересечение для любого количества множеств A
1
, A
2
, …, A
k
, … .
Обозначение: A
1
I A
2
I … I A
n
=
i
n
i
A
1=
I – для конечного числа множеств,
A
1
I A
2
I … I A
k
I … =
i
i
A
∞
=1
I – для бесконечного числа множеств (знаки стоящие в правых частях
равенств называются знаками сокращенного пересечения и нужны только для более краткой записи).
Пример. Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия со-
стоит из четырех экзаменов. Пусть А
i
– множество студентов, сдавших i-й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3,
4), тогда:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
