ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Примеры. 1) N – множество всех натуральных чисел.
2) Z – множество всех целых чисел.
3) Q – множество всех рациональных чисел.
4) R – множество всех действительных чисел (или числовая прямая).
5 С каждым уравнением связаны два числовых множества. Первым из них является множество чи-
сел, при которых выражения, входящие в уравнение имеют смысл. Это числовое множество называется
областью допустимых значений уравнения. Вторым множеством, связанным с уравнением, является
множество решений уравнения.
Например, в уравнении 43 =+ хх область допустимых значений
{
}
0: ≥xx , а множество решений:
{1}.
Рассмотрим еще некоторые числовые множества. Пусть a, b ∈ R и
a < b. Множество {x: a ≤ x ≤ b} – называется отрезком и обозначается
[a, b]. Множество {x: a < x < b} – называется интервалом и обозначается
(a, b). Множества {x: a < x ≤ b} и {x: a ≤ x < b} – называются полуинтервалами и обозначаются соответ-
ственно: (a, b], [a, b).
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называются промежутками, точки a и b – их концами.
Для любого x ∈ R справедливо неравенство: –∞ < x < +∞. Поэтому естественно ввести следующие
обозначения для бесконечных промежутков:
(–∞, +∞) = {x: –∞ < x < +∞};
(–∞, a) = {x: –∞ < x < a};
(–∞, a] = {x: –∞ < x ≤ a};
(b, +∞) = {x: b < x < +∞};
[b, +∞) = {x: b ≤ x < +∞}.
Со всеми этими числовыми множествами вы сталкивались в школьном курсе математики. Но есть и
более сложные примеры числовых множеств, например, понятие окрестности точки x
0
∈ R.
Определение. Окрестностью точки x
0
∈ R называется произвольный интервал (a, b), содержащий
эту точку внутри себя: a < х
0
< b. Часто
рассматривается такая окрестность точки х
0
, для которой х
0
является
серединой.
1.3 Подмножества
Нередко одно множество является частью другого множества. Например: множество всех женщин
составляет часть множества всех людей; множество четных чисел – часть множества целых чисел. Для
описания этой ситуации используется термин «подмножество».
Определение. Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент мно-
жества A является элементом множества B.
Обозначение. A ⊂ B. Читается: «A есть подмножество множества B», или «A содержится (входит) в
B», или «B содержит A».
Примеры. 1) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. (Множество натуральных чисел является подмножеством множества
целых чисел, которое входит во множество рациональных чисел, которое, в свою очередь, содержится
во множестве действительных чисел).
2) Многие теоремы в математике имеют вид: A ⊂ B. Например, в теореме «Диагонали ромба взаим-
но перпендикулярны» речь идет о двух множествах: A – множество всех ромбов, B – множество всех
геометрических фигур с перпендикулярными диагоналями. И теорема состоит в том, что A ⊂ B.
Из определения подмножества видно, что всякое множество является подмножеством самого себя:
A ⊂ A. Будем считать, что пустое множество ∅ есть подмножество любого множества: ∅ ⊂ А.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
