Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

19 Используя операции над множествами, выразить множество
≥= 0
)()(
)(
:
xgxf
xh
xA
через множества
}0)(:{ >= xhxB , }0)(:{ == xhxC , }0)(:{ >= xfxD , }0)(:{
=
=
xfxE , }0)(:{ >
=
xgxG , }0)(:{ == xgxF . Проверить
ответ, решив неравенство
0
)4)(1(
6
2
≥
+−
−−
xx
xx
.
2 КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
2.1 Количество подмножеств конечного множества
Рассмотрим более подробно конечные множества. Для конечного множества очевидно, что число
его подмножеств конечно. Можно ли подсчитать число подмножеств, если известно число элементов
данного конечного множества? Решим предварительно задачу.
Задача. Пусть X – конечное множество, a – элемент множества X. Каких подмножеств множества X
больше, содержащих элемент a или не содержащих элемент a?
Решение. Каждый раз, когда мы указываем подмножество A множества X, содержащее элемент a,
то мы указываем и подмножество X \ A множества X, не содержащее элемент a, и наоборот. Если мы
указываем подмножество множества X, не содержащее элемент a, то мы указываем и подмножество
множества X, содержащее элемент a. Поэтому подмножеств множества X, содержащих элемент a столь-
ко же, сколько и подмножеств множества X, не содержащих элемент a.
Ответ. Поровну.
Проверим ответ данной задачи на следующем примере.
Пример. У множества {1, 2, 3} есть следующие подмножества:
}3{},2{},1{,
∅
;
{1, 2}, {1, 3}, {2, 3};
{1, 2, 3}.
Таким образом, подмножеств, содержащих элемент 2, четыре штуки, столько же подмножеств, не
содержащих элемент 2.
Используем решенную задачу для доказательства основной теоремы.
Теорема 1. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2
n
.
Доказательство. Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2
1
) подмножества: ∅
и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2
2
) подмножества:
∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2
3
) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода
в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n
0
и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального
n = k ≥ n
0
можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех на-
туральных чисел.
1 Для n = 1 (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2 Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k
элементов, равно 2
k
. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента
равно 2
k+1
.

Страницы