Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k
элементов. Все подмножества множества A – это подмножества множества B, не содержащие элемент b
и, по предположению, их 2
k
штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2
k
штук (по решенной задаче). Следовательно, всех подмножеств множества B: 2
k
+ 2
k
= 2 ⋅ 2
k
= 2
k+1
штук.
Теорема доказана.
Задача. Преступники решили ограбить дом, в котором проживает семья из пяти человек: муж, же-
на, двое детей и мать жены. Сколько различных ситуаций (по количеству людей, находящихся в доме)
их может
ожидать?
Ответ. 2
5
= 32 ситуации.
2.2 Формула включений и исключений
Пусть конечное множество A представлено как объединение некоторых конечных множеств А
1
, …,
А
n
: A = А
1
U … U А
n
. Как связаны количества элементов в множестве A и в множествах А
1
, …, А
n
? Для
случая n = 2 на этот вопрос ответить легко.
Обозначим через m(A) («мера множества А») количество элементов в конечном множестве А. Тогда:
1 Если А
1
и А
2
конечные множества и А
1
I А
2
= ∅, то: )()()(
2121
AmAmAAm
+
=
U .
2 Если А
1
и А
2
конечные множества и А
1
I А
2
≠ ∅, то: )()()()(
212121
AAmAmAmAAm IU −+
=
, так как
общие элементы множеств А
1
и А
2
включаются в объединение только один раз (см. диаграмму Венна).
Задача. Из 220 школьников 163 умеют играть в хоккей, 175 – в футбол, 24 не умеют играть в эти
игры. Сколько школьников одновременно умеет играть в хоккей и футбол?
Решение. Введем обозначения: Ш – множество всех школьников, m(Ш) = 220, Ф – множество
школьников, умеющих играть в футбол,
m(Ф) = 175, Х – множество школьников, умеющих играть в хоккей,
m(Х) = 163, Ф I Х – множество школьников, умеющих играть и в футбол, и в хоккей, Ф U Х – множе-
ство школьников, умеющих играть хотя бы в одну из игр – или в футбол, или в хоккей. По условию 24
школьника не умеют играть в эти игры, следовательно:
m(Ф U Х) = m(Ш) – 24=196.
Окончательно: m(Ф U Х) = m(Ф) + m(Х) – m(Ф I Х), откуда
m(ФI Х) = m(Ф) + m(Х) – m(ФU Х) = 175 + 163 – 196 = 142.
Ответ. 142 школьника играют и в футбол, и в хоккей.
На самом деле формула )()()()(
212121
AAmAmAmAAm IU
−
+
= является частным случаем формулы
включений и исключений, которая отвечает на вопрос, поставленный в начале, для любого натурально-
го n.
Теорема 2. Если А
1
, A
2
, ..., A
n
– некоторые конечные множества, то:
[][ ]
[]
[]
.)...()1(
...)(...)(
)(...)()()(...)(
)...(
21
1
12321
131211
21
n
n
nnn
nnn
n
AAAm
AAAmAAAm
AAmAAmAAmAmAm
AAAm
III
IIII
III
UUU
−
−−
−
−+
+−+++
++++−++=
=
Поясним формулировку этой теоремы. Правая часть формулы в теореме представляет собой алгеб-
раическую сумму n слагаемых (взятых в квадратные скобки), имеющих попеременно знак «+» и «–».
Первое слагаемое – число элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А
1
, A
2
, ..., A
n
, второе – число
элементов, входящих хотя бы в одно из множеств
ji
AA I
(i < j, i = 1, …, n, j = 1, …, n), третье – число
элементов, входящих хотя бы в одно из множеств
kji
AAA II
(i < j < k, i = 1, …, n, j = 1, …, n,
k = 1, …, n) и так далее. Последнее слагаемое, взятое со знаком (–1)
n – 1
, – число элементов в множестве
n
AAA III ...
21
. Такое попеременное включение и исключение слагаемых с целью учета каждого элемен-

Страницы