Теория множеств в курсе "Математика" для гуманитарных специальностей. Учебно-методические рекомендации. Пучков Н.П - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

та только один раз и послужило причиной для названия этой формулы: формула включений и исключе-
ний.
Эту формулу можно доказать, используя метод математической индукции. Мы ограничимся ее до-
казательством только для случая n = 3, то есть покажем, что
[]
).()()()(
)()()()(
321323121
321321
AAAmAAmAAmAAm
AmAmAmAAAm
IIIII
UU
+++−
−++=
Доказательство. Чтобы не писать индексы, рассмотрим множества А, В, С. Используя очевидное
равенство )( CBACBA UUUU = и то, что эта формула доказана для двух множеств, получим:
])[()()(])[()( CBAmCBmAmCBAmCBAm UIUUUUU
−
+
=
= ,
Так как ][][][ CABACBA IUIUI = (свойство 4'), то:
])[]([)()(])[()()( CABAmCBmAmCBAmCBmAm IUIUUIU
−
+
=
−+ ,
Применяя формулу включений и исключений для двух множеств еще два раза, получим:
.])[][)()(()(
)()()(])[]([)()(
CABAmCAmBAmCBm
CmBmAmCABAmCBmAm
IIIIII
IUIU
−+−−
−
+
+
=
−+
После очевидных преобразований, получим в итоге доказываемую формулу:
.)()()()()()()(
)(
CBAmCAmBAmCBmCmBmAm
CBAm
IIIII
UU
+−−−++=
=
Следствие: Если множества А
1
, А
2
, …, А
n
попарно не пересекаются, то:
).(...)()()...(
2121 nn
AmAmAmAAAm
+
+
+
=
UUU
Задача. В студенческой группе 25 человек. Во время летних каникул 9 из них выезжали в турпоезд-
ки за границу, 12 – путешествовали по России, 15 – отдыхали в Сочи, 6 – путешествовали за границей и
по России,
7 – были и за границей и в Сочи, 8 – и путешествовали по России и были в Сочи и 3 – участвовали во
всех трех поездках. Сколько студентов никуда не выезжало?
Решение. Пусть:
Г – множество студентов, выезжавших за границу;
Р – множество студентов, путешествовавших по России;
С – множество студентов, отдыхавших в Сочи.
Тогда множество студентов, выезжавших хотя бы куда-то из города есть СРГ UU . Так как 9 + 12 +
15 = 36 > 25, то множества Г, Р, С пересекаются (это видно и непосредственно из условия задачи, так
как некоторые студенты были в различных поездках) и
.)СРГ()СР()СГ()РГ()С()Р()Г(
)СРГ(
IIIII
UU
mmmmmmm
m
+−−−++=
=
Имеем: m(Г) = 9, m(Р) = 12, m(С) = 15, m(Г
I Р) = 6, m(Г I С) = 7, m(Р I С) = 8, m(Г I Р I С) = 3.
Тогда: m(Г
U Р U С) = 9 + 12 + 15 – 6 – 7 – 8 + 3 = 39 – 21 = 18, а из города никуда не выезжало 25 –
18 = 7 студентов.
Ответ. Никуда не выезжало 7 студентов.
2.3 Задачи по теме «Конечные множества»

Страницы