Высшая математика. Пучков Н.П. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 13
Теория вероятностей. Основные теоремы
1. Умножение вероятностей.
Определение 13.1.
Произведением двух событий
A
и B называется событие
A
B , означающее совместное появление
этих событий.
Пример 13.1. Абитуриент закончил школу с золотой медалью – событие А; абитуриент сдал первый экзамен на «отлич-
но» – событие В. Событие
A
B – абитуриент подлежит зачислению в вуз.
Определение 13.2. Вероятность события B в предположении, что событие А произошло
()
AB , называется условной
вероятностью
()
ABpBp
A
=)( .
(Если
)()( BpBp
A
= , то вероятность называется безусловной).
Пример 13.2. Из 25 экзаменационных билетов студент выучил 20. Если он первым берет билет, то вероятность взять
известный
8,0
25
20
)( ==Bp
. Студент выбирает билет вторым. Событие
A
– первый студент выбрал билет, известный второ-
му, тогда
24
19
)( =
Bp
A
.
Теорема 13.1. Вероятность произведения двух событий определяется формулой
)()()()( ApBpBpApABp
BA
== .
Пример 13.3. В коробке 6 белых и 4 черных шара. Последовательно, без возврата вынимаются два шара. Какова веро-
ятность, что оба окажутся белыми?
3
1
9
5
10
6
)( =⋅=
ABp .
Эта теорема допускает обобщение на случай произведения любого числа событий
....,,,
21 n
AAA
)(...)()()()...,,,(
11211
...32121 nAAAAAn
ApApApApAAAp
n−
=
.
Определение 13.3. Событие B называется независимым от события А, если условная вероятность события B равна его
безусловной вероятности
)()( BpBp
A
= .
Для n независимых событий
.)(...)()()...(
2121 nn
ApApApAAAp
=
Пример 13.4. Стреляют три стрелка. Вероятность поражения мишени первым стрелком
7,0)(
1
=
Ap ; вторым –
75,0)(
2
=Ap ; третьим – 8,0)(
3
=Ap . Какова вероятность что в результате залпа мишень будет поражена трижды?
.42,08,075,07,0)()()()(
321321
=
⋅
⋅
=
= ApApApAAAp
Теорема 13.2. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий
n
AAA ...
21
, образующих полную
группу, определяется формулой
n
qqqAp ...1)(
21
−= , где
ii
pq
−
=
1 – вероятности соответствующих противоположных собы-
тий
niA
i
,1, = .
Если
pApApAp
n
==== )(...)()(
21
, то
n
qAp −=1)( .
В предыдущем примере вероятность, что хотя бы один стрелок поразит мишень, равна
985,0015,012,025,03,01)( =−=⋅⋅−=Ap .
2.
Сложение вероятностей.
Определение 13.4. События
A
и
B
называются совместными, если в одном и том же испытании появление одного из
них не исключает появление другого.
Пример 13.5. Студент Иванов сдал экзамен – событие А, студент Петров сдал экзамен – событие
B .
A
и B совмест-
ные события.
Определение 13.5. Суммой двух событий
A
и B называют событие BAC
+
=
, которое состоит в появлении либо со-
бытия А, либо события В, либо
A
и B одновременно. Сумма нескольких событий
∑
=
n
i
i
A
1
состоит в появлении хотя бы одно-
го из них.
Пример 13.6. Подбрасывается игральная кость. Событие
A
– выпало число 2, событие
B
– выпало число 4, событие
C – выпало число 6. Событие CBA ++ – выпало число очков, кратное 2.
Теорема 13.3. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произ-
ведения

Страницы