Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 23 стр.

    Рассмотрим теперь случай, когда оба груза не закреплены. Возбудить
колебания в такой системе можно, например, выведя из положения равновесия
оба груза, а затем их отпустив. При этом каждому грузу можно сообщить самые
различные начальные отклонения. Рассмотрим два случая из возможных
начальных отклонений:
   1) оба груза отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние
      в одну сторону - либо оба вправо, либо оба влево;
   2) оба груза отклонены на одинаковое расстояние, но в разные стороны.
       Легко заметить, что в первом случае в любой момент времени пружинка
k будет сохранять свою первоначальную длину l , так как расстояние между
грузами в процессе колебаний не будет изменяться, (грузы колеблются в
одинаковых фазах с равными амплитудами) (рис. 10, в). Следовательно, связь
между грузами не будет играть никакой роли (если ее удалить, то ничего не
изменится). Грузы при этом будут колебаться с частотой ω1 , которая
обусловлена только пружиной K и поэтому равна собственной частоте без
связи:
                                            K
                               ω1 = ω 2 =                               (58)
                                            m
       Во втором случае пружинка k будет сжиматься и разжиматься, но ее
средняя точка будет все время оставаться неподвижной. Это равносильно
закреплению пружинки k в ее средней точке (рис. 10, г). Если ее в самом деле
закрепить в этой точке, то колебания каждого груза можно рассматривать
отдельно, считая, что они происходят под действием пружины K и половины
пружинки k . Половина пружины обладает вдвое большей жесткостью, чем
целая. Это происходит потому, что жесткость определяется силой, которая
требуется для растяжения пружины на единицу длины, а для растяжения на
единицу длины всей пружины каждый виток вдвое более короткой пружины
нужно растянуть вдвое больше, чем каждый виток длинной пружины. Сила же,
растягивающая пружину, определяется величиной деформации одного витка.
Следовательно, в этом случае равнодействующая сил пружины K и половины
пружинки k будет
                               F = −( K + 2k ) ⋅ X                      (59)
и колебания каждого груза будут происходить с частотой
                                  K + 2k
                              ω2 =                                   (60)
                                     m
      Мы видим, что при специальном выборе начальных отклонений каждый
из грузов в нашей связанной системе совершает гармонические колебания,
которые могут происходить с одной из двух частот ω1 и ω2 . При этом ω1
меньше, а ω 2 больше парциальной частоты ω пар . Гармонические колебания,

                                       23