Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
колебаний.
Колебания, получающиеся в результате сложения двух гармонических
колебаний с разными частотами, не являются
гармоническими. Рассмотрим здесь наиболее простой случай, который
нам понадобится в дальнейшем, когда складываются два гармонических
колебания с разнымичастотами, но с одинаковыми амплитудами и равными
нулю начальнымифазами:
,sin
11
tAX
ω
=
tAX
22
sin
ω
=
(7)
Их сумма
+
−
=
+
=
+=
ttA
tAtAXXX
)(
2
1
sin)(
2
1
cos2
sinsin
1212
21
ωωωω
ω
ω
(8)
представляет собой произведение двух периодических функций
tt
112
cos)(
2
1
cos Ω=
−
ωω
и
tt
212
sin)(
2
1
sin Ω=
+
ωω
с круговыми частотами
−=Ω )(
2
1
121
ωω
и
+=Ω )(
2
1
122
ωω
Если частоты
1
ω
и
2
ω
мало отличаются друг от друга, то
1
Ω
является
малой величиной, а период изменения косинуса
11
/2
Ω
π
T
будет величиной
большойпо сравнению с периодом колебания синуса
22
/2 Ω
=
π
T
. За время
одного колебания косинуса успеет произойти много колебаний синуса. В этом
случае множитель
− tA )(
2
1
cos2
12
ωω
можно принять за амплитуду, а
величину
2
Ω
за частоту колебаний, т.е.
tAXXX
2121
sin Ω=+=
(9)
При этом амплитуда медленно изменяется с течением времени и обращается в
нуль, когда величина
tt )(
2
1
121
ωω
−=Ω
кратна
π
, т.е. через промежутки
времени
)/(2
12
ω
ω
π
τ
−=
. Такие колебания носят название б и е н и й (рис.4).
Величина
π
ωω
νν
τ
2
1
12
22
−
=−==N
(10) 
колебаний.
    Колебания, получающиеся в результате сложения двух гармонических
 колебаний             с         разными        частотами,        не    являются
 г а р м о н и ч е с к и м и . Рассмотрим здесь наиболее простой случай, который
 нам понадобится в дальнейшем, когда складываются два гармонических
 колебания с разнымичастотами, но с одинаковыми амплитудами и равными
 нулю начальнымифазами:
                          X 1 = A sin ω 1t , X 2 = A sin ω 2 t                    (7)
 Их сумма
                     X = X 1 + X 2 = A sin ω t + A sin ω t =
                            1              1                                  (8)
                     2 A cos (ω 2 − ω1 )t  sin  (ω 2 + ω1 )t 
                            2              2                 
представляет собой произведение двух периодических функций
                 1                              1             
              cos (ω 2 − ω1 )t  = cos Ω1t и sin  (ω 2 + ω1 )t  = sin Ω 2 t
                 2                              2             
с круговыми частотами
                          1                    1           
                     Ω1 =  (ω 2 − ω1 ) и Ω 2 =  (ω 2 + ω1 )
                          2                    2           
 Если частоты   ω1    и   ω2   мало отличаются друг от друга, то        Ω1 является
малой величиной, а период изменения косинуса T1 = 2π / Ω 1 будет величиной
большойпо сравнению с периодом колебания синуса T2 = 2π / Ω 2 . За время
одного колебания косинуса успеет произойти много колебаний синуса. В этом
                            1          
случае множитель 2 A cos (ω 2 − ω1 )t  можно принять за амплитуду, а
                            2          
величину Ω 2 за частоту колебаний, т.е.
                               X = X 1 + X 2 = A1 sin Ω 2 t                   (9)
При этом амплитуда медленно изменяется с течением времени и обращается в
                          Ω1t = (ω 2 − ω 1 )t кратна π , т.е. через промежутки
                                 1
нуль, когда величина
                                 2
времени τ = 2π /(ω 2 − ω1 ) . Такие колебания носят название б и е н и й (рис.4).
Величина
                                    1                  ω 2 − ω1
                               N=       = ν 2 −ν 2 =                             (10)
                                    τ                     2π



                                               7

Страницы