Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 9 стр.

k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости
пружины, имеющий размерность Н/м и показывающий, какая сила требуется
для растяжения данной пружины на единицу длины.
           Согласно второму закону Ньютона, движение под действием силы
происходит ускоренно. Ускорение в любой момент времени определяется
выражением
                                        ma = f                                 (12)
где m - масса груза, а - ускорение. Подставляя в закон Ньютона выражение для
упругой силы (11) (мы не принимаем во внимание силу тяжести, действующую
на груз, так как она уравновешивается начальным растяжением пружины) и
заменяя ускорение второй производной перемещения по времени, получим:
                                d2X                  d2X        k
                              m 2 = − kX , или           2
                                                             = − X.            (13)
                                 dt                   dt        m
Применяя сокращенные обозначения, найдем:
                                         k
                                    X + X = 0.
                                         m
           Закон Ньютона, таким образом, выражен в виде уравнения, в которое
входит неизвестная функция времени X и ее вторая производная. Это
уравнение называется у р а в н е н и е м д в и ж е н и я . Так как мы знаем, что
закон Ньютона в механике должен выполняться в с е г д а , то в любой момент
времени левая часть уравнения (13) должна быть равна правой. Следовательно,
чтобы найти закон колебаний груза (зависимость от времени величины его
отклонения от положения равновесия), надо найти такую функцию времени
                                                           2     2
 X (t ) , для которой вторая производная по времени d X / dt отличается от самой
функции постоянным, независящим от времени множителем k / m и знаком, т.е.
найти такой закон движения, при котором ускорение в любой момент времени
пропорционально отклонению по величине и противоположно по знаку. Такой
функцией          является     функция,     X (t ) = A sin(ω t + ϕ ) , описывающая
гармонические колебания X = A sin (ωt + φ ) . В самом деле, если мы подставим
в левую часть уравнения (13) выражение для ускорения при гармонических
колебаниях
                               d2X
                                   2
                                     = −ω 2 A sin (ωt + ϕ )
                                dt
а в правую часть X = A sin(ωt + ϕ ) , то легко найти, что левая часть будет в любой
момент времени равна правой при условии, что
                                                 k
                                          ω2 =                                  (14)
                                                 m
Отсюда       мы       делаем    вывод,     что      упругие  колебания     являются
г а р м о н и ч е с к и м и колебаниями, причем их круговая частота

                                           9