Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 11 стр.

                                  M = − Dα                           (16)
       Здесь D - коэффициент пропорциональности, называемый модулем
кручения и показывающий, какой момент силы нужен для закручивания данной
нити на единицу угла (на один радиан). Знак минус показывает, что момент
силы направлен в сторону, противоположную отклонению.
    Напишем второй закон Ньютона для вращательного движения твердого
тела (уравнение моментов):
                                   Jβ = M                            (17)
      Здесь J - момент инерции стержня, β = d α / dr - угловое ускорение.
                                               2    2


Заменив в выражении (17) момент силы по формуле (16), а угловое ускорение
β второй производной угла α по времени, получим:
                                 d 2α                  d 2α      D
                               J 2 = − Dα или                = −   α      (18)
                                  dt                    dt 2     J
        Это равенство и является в данном случае уравнением движения. В него
входит неизвестная функция времени α = α (t ) . Здесь так же, как и в уравнении
(13), в левой части стоит вторая производная функции по времени, а в правой -
сама функция α с постоянным множителем D / J и обратным знаком. Закон
Ньютона и в этом случае будет выполняться в любой момент времени, если α
будет изменяться с течением времени по гармоническому закону:
                                     α = A sin(ωt + ϕ ) ,                   (19)
а круговая частота колебаний будет равна
                                            D
                                       ω=     .                      (20)
                                            J
      Конечно, это все верно не только для стержня, но и для любого тела,
подвешенного на нити с модулем кручения D , если его момент инерции
относительно оси, проходящей через нить, равен J .
      Крутильные колебания, также как и колебания груза, подвешенного на
пружине, являются упругими колебаниями.

                  7. Физический и математический маятники
       Физическим маятником                   называется любое твердое тело,
которое может вращаться вокруг горизонтальной оси O и центр тяжести
которого не лежит на этой оси. Такое тело находится в положении равновесия,
когда центр тяжести C лежит ниже оси вращения на вертикальной линии OX ,
проходящей через ось (рис. 7, а).
       Обозначим расстояние между осью вращения O и центром тяжести C
буквой R (рис.7, а и б). Если вывести тело из положения равновесия так, что
центр тяжести будет находиться в точке C ′ и линия OC ′ составит с вертикалью
угол α , то на тело будет действовать момент силы тяжести M , равный

                                         11