Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 12 стр.

произведению веса тела P = mg на плечо, т.е. на расстояние R sin α между осью
O и направлением силы тяжести (рис.7,б):
                                   M = PR sin α                              (21)
Этот момент силы будет стремиться возвратить тело в положение равновесия.
Если      отклоненное    от   положения
равновесия тело отпустить, то оно начнет
совершать колебания. Положение тела в
любой момент времени можно ха-
рактеризовать углом α , который и
является здесь колеблющейся величиной.
        Колебания физического маятника
не     представляют     собой   упругих
колебаний, так как момент силы,
возвращающий маятник в положение                          Рис. 7
равновесия, обусловлен не упругими
силами, а силой тяжести. Вообще говоря, момент силы тяжести не будет
пропорционален углу отклонения α . Однако при малых углах отклонения
 sin α ≅ α .
        В этом случае можно считать, что
                                  M = − PRα ,                                (22)
т. е. момент силы пропорционален углу отклонения (коэффициентом
пропорциональности здесь будет произведение PR ), и, следовательно, для
малых углов отклонения колебания можно считать к в а з и у п р у г и м и . Знак
минус показывает, что момент силы стремится повернуть тело в направлении,
противоположном отклонению.
        Напишем второй закон Ньютона для вращательного движения твердого
тела (уравнении моментов):
                                     Jβ = M .                                (23)
Здесь J -момент инерции тела относительно оси вращения, β = d α / dt –
                                                                 2    2


угловое ускорение. Заменив в выражении (23) момент силы по формуле (22), а
угловое ускорение - второй производной угла по времени, получим:
                   d 2α                 d 2α     PR 
                J 2 = − PRα или              = −    α .            (24)
                   dt                   dt 2      J 
Это равенство является в этом случае уравнением движения. В него входит
неизвестная функция времени α = α (t ) . Здесь так же, как в уравнении (13) слева
стоит вторая производная функции по времени, а справа - сама функция α с
постоянным множителем PR / J и обратным знаком. Закон Ньютона в этом
случае будет выполняться в любой момент времени, если α будет с течением
времени изменяться по гармоническому закону: α = A sin (ωt + ϕ )
а круговая частота будет
                                         12