Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 13 стр.

                                      PR      mgR
                            ω=           =                                (25)
                                       J       J
        В тех случаях, когда можно считать, что вся масса тела сосредоточена в
одной       точке       (центре     тяжести),     то   маятник      называется
м а т е м а т и ч е с к и м . Математическим маятником можно считать шарик,
подвешенный на длинной нерастяжимой нити, если длина нити значительно
больше диаметра шарика. В этом случае расстояние от оси вращения до центра
тяжести (центра шарика) R можно считать равным длине нити l . Момент
инерции шарика, который можно принять за материальную точку,
находящуюся на расстоянии l от оси вращения, относительно этой оси будет
                                     J = ml 2                             (26)
Здесь m - масса шарика (массой нити пренебрегаем).
        Для частоты колебаний математического маятника с помощью формул
(25) и (26) легко получить выражение:
                                   mgl        g
                           ω=             =                               (27)
                                 ( ml ) 2     l
Отсюда период колебаний математического маятника
                                 2π     l
                            T=        = 2π.                               (28)
                               ω        g
Если имеется физический маятник с периодом колебаний
                                          I
                              T0 = 2π       ,                         (29)
                                        mgR
то всегда можно подобрать математический маятник такой длины L, у которого
период колебаний также будет T0 . Длина такого математического маятника L
называется п р и в е д е н н о й длиной данного физического маятника. Так
как, согласно формуле (28), для этого математического маятника
                                          L
                                 T0 = 2π    ,                        (30)
                                          g
то, приравнивая формулы (29) и (30), найдем для приведенной длины
следующее выражение:
                                       J
                                  L=     .                           (31)
                                      mR
Ясно, что все физические маятники, имеющие одинаковую приведенную длину,
имеют и одинаковый период колебаний.
       По теореме Штейнера-Гюйгенса момент инерции J относительно дан-
ной оси связан с моментом инерции J 0 относительно оси, параллельной
данной и проходящей через центр тяжести, формулой:

                                         13