Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 15 стр.

противоположную скорости).
       Для изучения колебательного движения при наличии трения обратимся
снова к движению груза, подвешенного на пружине. В этом случае во второй
закон Ньютона (12) кроме упругой силы (11), войдет еще сила трения (36):
                                    ma = f + f mp⋅                           (37)
Откуда
                 d2X          dX           b     k
               m 2 = − kX − b     или X + X + X = 0.        (38)
                  dt          dt           m     m
Решение этого уравнения движения, т. е. нахождение функции времени
X = X (t ) , удовлетворяющий закону Ньютона в любой момент времени,
довольно сложно. Приведем здесь сразу окончательное выражение:
                            X = Ae − (b / 2 m )t sin(ω + ϕ ).         (39)
Здесь ω - определяется механическими свойствами системы (ее параметрами -
упругостью пружины k , массой груза m и коэффициентом трения b ):
                                                    2
                                        k  b 
                                  ω=      −     .                          (40)
                                        m  2m 
В справедливости этого решения можно убедиться, подставив в (38) выражение
(39) и приняв во внимание (40). При этом левая часть уравнения (38) окажется
тождественно равна правой.
       Колебания, закон которых выражается формулой (39), уже не будут
гармоническими. В формулу (39) входят два множителя, зависящих от времени.
Один из них - sin (ωt + ϕ ) - является периодической функцией времени, а
           − (b / 2 m )t
другой – e               с течением времени убывает. Если коэффициент трения мал
         2
k  b 
 ≥     , то величину     A1 = Ae −(b / 2 m)t можно считать амплитудой, которая
m  2m 
уменьшается с течением времени по показательному (экспоненциальному)
закону. Отношение двух последовательных амплитуд (т. е. амплитуд, взятых
через промежуток времени, равный периоду T )
                        An    Ae − (b / 2 m )t
                     ∆=     =   −b / 2 m ( t +T )
                                                  = e (b / 2 m )T .          (41)
                        An−1 Ae
не зависит от времени, а зависит только от механических свойств системы и
может служить характеристикой затухания колебаний. Это отношение
называется д е к р е м е н т о м затухания. Чем больше декремент затухания,
тем скорее уменьшается амплитуда. Часто затухание характеризуют
натуральным логарифмом этого отношения:
                                 A     b
                         δ = ln n =      T.                            (42)
                                An −1 2m

                                               15