Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 17 стр.

                      9. Вынужденные колебания
      Колебания, которые происходят в системе под действием периодически
изменяющейся силы, называются в ы н у ж д е н н ы м и к о л е б а н и я м и . Как
показывает опыт, частота вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы.
В качестве примера системы, совершающей вынужденные колебания,
рассмотрим колебания груза массы m, подвешенного на пружине с
коэффициентом жесткости k . Будем предполагать, что на груз действует
вынуждающая сила, изменяющаяся по периодическому закону
                              F = F0 sin ωt                                   (44)
с угловой частотой ω , периодом T = 2π / ω и амплитудой F0 . Мы предпо-
ложим ещё, что на груз во время его движения действует сила трения,
пропорциональная первой степени скорости, f mp = −bV . Силу тяжести,
действующую на груз, не будем принимать во внимание, так как она
уравновешивается начальным натяжением пружины.
    Для нахождения положения груза X как функции времени напишем второй
закон Ньютона с учетом всех сил, действующих на груз: силы упругости
                                                      dx
пружины f = − kX , силы трения      f mp = −bV = −b      ,   и вынуждающей
                                                      dt
силы F = F0 sin ω t :
                               ma = f + f mp + F                             (45)
    или
                        d2X           dX
                      m 2 = − kX − b       + F0 sin ωt.                  (46)
                         dt            dt
    Наконец, если мы разделим на m обе части уравнения (46) и оставим справа
только вынуждающую силу, то получим:
                      d 2 X b dX              F0
                            +      + ω 2
                                       0 X =     sin ωt.                 (47)
                       dt 2   m dt            m

    Здесь ω 0 = k / m - собственная частота колебаний груза (без учета трения).
Выражение (47) представляет собой уравнение движения груза.
       В случае свободных (собственных) колебаний амплитуда и начальная
фаза определяется начальными условиями (величиной скорости и смещения в
начальный момент времени), а частота зависит только от свойств самой
системы (ее параметров k и m ). Частота вынужденных колебаний определяется
частотой вынуждающей силы. Поэтому можно предположить, что, если груз
раскачивает сила, изменяющаяся по гармоническому закону, то груз будет
колебаться также по гармоническому закону с той же частотой, т.е. смещение

                                          17