Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 19 стр.

формулы (49) надо оба уравнения (51) возвести в квадрат и сложить, учитывая,
что sin ϕ + cos ϕ = 1 .
       2       2


       Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от
параметров системы и вынуждающей силы. Из формулы (49) видно, что
амплитуда вынужденных колебаний A пропорциональна амплитуде
вынуждающей силы F0 и зависит от соотношения между величиной собст-
венной частоты системы ω 0 и величиной частоты вынуждающей силы ω . Когда
частота вынуждающей силы стремится к нулю (очень медленные колебания),
амплитуда вынужденных колебаний стремится к величине A0 = F0 / mω 0 . При
                                                                       2


увеличении   ω амплитуда    A сначала увеличивается, так как уменьшается
знаменатель в формуле (49) (уменьшается величина разности ω 0 − ω ), до тех
                                                                    2     2


пор, пока ω не приблизится к ω 0 . При дальнейшем увеличении ω знаменатель
в формуле (49) начинает увеличиваться. При этом амплитуда A стремится к
нулю при ω , стремящемся к бесконечности. На графике (рис. 9) зависимость
амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы
изобразится кривой, имеющей максимум вблизи ω = ω 0 . Явление,
заключающееся в увеличении амплитуды вынужденных колебаний, когда
частота вынуждавшей силы приближается к собственной частоте системы,
называется р е з о н а н с о м , а график зависимости амплитуды от частоты
вынуждающей силы - а м п л и т у д н о й р е з о н а н с н о й к р и в о й .
       Приравняв нулю производную по ω              подкоренного выражения в
формуле (49), можно найти точное значение ω , при котором A достигает
максимума:
                                             b2
                              ω рез   = ω −
                                          2
                                          0      .                        (52)
                                            2m 2
     Следовательно, только при условии, что можно пренебречь трением (при
ω 0 > b / m) , выполняется равенство ω рез = ω 0 . Можно также показать, что
когда трение мало, амплитуда A имеет максимальное значение
                                       F0   Fπ
                            Арез =        = 0 2.                          (53)
                                      bω 0 δmω 0
   Отсюда видно, что A рез обратно пропорциональна коэффициенту трения b
или логарифмическому декременту затухания δ [согласно формуле (42) §8
δ = (b / 2m)T = πb / (mω 0 ) ] . Если бы мы не принимали во внимание трения
(b = 0) при выводе формулы (49), то мы получили бы, что при резонансе
амплитуда становится бесконечной [нуль в знаменателе формулы (53)], чего на
самом деле никогда не бывает.


                                          19