Введение к задачам на изучение колебаний. Пустовалов Г.Е. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
груза будет
(
)
ϕ
ω
+
=
tAX sin
(48)
Здесь
ϕ
представляет собой разность фаз колебаний груза и вынуждающей
силы. Амплитуда вынужденных колебаний
A
и разность фаз
ϕ
должны
зависеть от величин, характеризующих систему (ее параметров
0
,,,
ω
bkm
), и
величин, характеризующих вынуждающую силу (
0
F
и
ω
). Эту зависимость
можно найти следующим путем. Предполагая, что
имеет вид (48), найдем
скорость и ускорение груза, т.е.
dtdX /
и
22
/ dtXd
[см. формулы (5), (6) § 3].
Так как закон Ньютона должен выполняться в любой момент времени, то,
подставляя
X
,
dtdX /
,
22
/ dtXd
в левую часть уравнения (47), мы должны
подобрать такие значения
A
и
ϕ
, чтобы в любой момент времени левая часть
уравнения была равна правой. Если мы сумеем это сделать, мы тем самым,
кстати, докажем справедливость нашего предположения о том, что под
действием гармонической вынуждающей силы груз совершает гармонические
колебания.
Оказывается, что уравнение (47) обращается в тождество, если
X
выражается формулой (48),
2
2
2
222
0
0
)(
ωωω
m
b
m
F
A
+−
=
(49)
и
.
)(
2
0
2
ωω
ω
ϕ
−
=
m
b
tg
(50)
Для вывода формул (49) и (50) нужно подставить в левую часть уравнения
(47)
()
,sin
ϕ
ω
+= tAX
)cos(/
ϕ
ω
ω
+
= tAdtdX
и
()
ϕωω
+−= tAdtXd sin/
222
и разложить выражения
()
ϕ
+
tsin
и
(
)
ω
+
tcos
по формулам для синуса и
косинуса суммы углов. Затем нужно сгруппировать члены так, чтобы можно
было вынести за скобки
t
ω
sin
и
t
ω
cos
. Если скобку, стоящую множителем
при
t
ω
cos
, приравнять нулю, а скобку, стоящую множителем при
t
ω
sin
,
приравнять
mF /
0
, то левая часть уравнения (47) будет равна правой для любого
момента времени
t . В результате для определения
A
и
ϕ
получается два
уравнения:
.sincos)(
,0cossin)(
0
22
0
22
0
m
F
A
m
b
A
A
m
b
A
=−−
=+−
ϕωϕωω
ϕωϕωω
(51)
Из первого уравнения сразу следует формула (50), а для получения 
груза будет
                             X = A sin (ωt + ϕ )                         (48)
Здесь ϕ представляет собой разность фаз колебаний груза и вынуждающей
силы. Амплитуда вынужденных колебаний A и разность фаз ϕ должны
зависеть от величин, характеризующих систему (ее параметров m, k , b, ω 0 ), и
величин, характеризующих вынуждающую силу ( F0 и ω ). Эту зависимость
можно найти следующим путем. Предполагая, что X имеет вид (48), найдем
скорость и ускорение груза, т.е. dX / dt и d 2 X / dt 2 [см. формулы (5), (6) § 3].
Так как закон Ньютона должен выполняться в любой момент времени, то,
подставляя X , dX / dt , d 2 X / dt 2 в левую часть уравнения (47), мы должны
подобрать такие значения A и ϕ , чтобы в любой момент времени левая часть
уравнения была равна правой. Если мы сумеем это сделать, мы тем самым,
кстати, докажем справедливость нашего предположения о том, что под
действием гармонической вынуждающей силы груз совершает гармонические
колебания.
    Оказывается, что уравнение (47) обращается в тождество, если X
выражается формулой (48),
                                      F0
                      A=                                                      (49)
                                             b2 2
                          m (ω 0 − ω ) + 2 ω
                                  2    2 2

                                            m
    и
                                       bω
                            tgϕ =                  .                          (50)
                                    m(ω 2 − ω 02 )
    Для вывода формул (49) и (50) нужно подставить в левую часть уравнения
(47) X = A sin(ωt + ϕ ), dX / dt = ωA cos(ωt + ϕ ) и d X / dt = −ω A sin (ωt + ϕ )
                                                       2     2    2


и разложить выражения sin (ωt + ϕ ) и cos(ωt + ϕ ) по формулам для синуса и
косинуса суммы углов. Затем нужно сгруппировать члены так, чтобы можно
было вынести за скобки sin ωt и cos ωt . Если скобку, стоящую множителем
при cos ωt , приравнять нулю, а скобку, стоящую множителем при sin ωt ,
приравнять F0 / m , то левая часть уравнения (47) будет равна правой для любого
момента времени t . В результате для определения A и ϕ получается два
уравнения:
                                       b
                 A(ω 02 − ω 2 ) sin ϕ + ωA cos ϕ = 0,
                                       m
                                       b            F0                         (51)
                 A(ω 0 − ω ) cos ϕ − ωA sin ϕ =
                       2    2
                                                        .
                                       m             m
       Из первого уравнения сразу следует формула (50), а для получения

                                            18

Страницы